Математический спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов

Тогда: . Следовательно, величина φ_n может принимать значения 0,π,2π,... Тогда:

.

Общий вид спектра показан на рис. 5.1, а. На рис. 5.1, б изображен отдельно спектр амплитуд, а на рис. 5.1, в - спектр фаз.

Рис. 5.1

Отметим основные четыре особенности математического спектра последовательности видеоимпульсов, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать, как реализуются эти особенности в физическом спектре.

1. Огибающую спектра можно получить из выражения для амплитуд А_n, если перейти от дискретных значений частоты nW к текущему значению частоты w: , то есть хорошо известной в математике функцией вида .

2. Гармоники спектра расположены на частотах nW или nF=n/Т, где n=0,1,2,3…

3. Положение нулей спектра нетрудно определить, приравняв нулю выражение для огибающей спектра. Для этого достаточно положить или . Отсюда ωτ=2pn, а нули расположены на частотах или f=n/τ.

4. На частотах f=n/τ происходит изменение фазы гармоник спектра на ±p.

5.4. Спектр – математическое понятие

Представление сигнала в виде ряда Фурье, строго говоря, не является его спектром. Это просто другой вид представления данного сигнала во времени.

Чтобы получить математический спектр, необходимо произвести преобразование Фурье сигнала u(t): . Рассмотрим это преобразование для одной гармонической функции u₁(t)=U₁cos(Ωt+q₁). Учитывая, что , спектральная плотность этой функции может быть представлена в виде:

При такой записи мы можем воспользоваться известным выражением для дельта - функции:

.

Тогда:

.

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме w=Ω и w= –Ω, при которых u₁(w) обращается в бесконечность. Таким образом, из этой формулы вытекает, что гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах Ω и –Ω. При w=0 фаза q=0 и спектральная плотность сигнала на нулевой частоте будет равна: u(w=0)=U₀2pd(w). Распространив приведенное выше преобразование на все гармоники ряда Фурье, получим выражение для математического спектра периодического сигнала:

.

Пользоваться такой записью спектра бывает очень удобно при рассмотрении некоторых случаев, связанных с прохождением сигналов через радиотехнические цепи. Однако эта запись обладает меньшей наглядностью по сравнению с записью ряда Фурье для периодической функции. Действительно, что такое произведение U_nd(w-nΩ)? Это произведение конечной величины на бесконечно большую величину. Значит, это произведение есть бесконечно большая величина! И нас не успокаивает то обстоятельство, что у этой бесконечно большой величины конечная площадь (по определению дельта - функции). Представить себе это физически довольно трудно. Поэтому часто амплитудный спектр записывается не как набор произведений U_nd(w-Ω), а как набор коэффициентов U_n. Намного проще представить себе гармонику ряда Фурье, которая является хорошо знакомой синусоидой с конечной амплитудой и конкретной частотой и фазой, чем дельта функцию. Поэтому обычно пользуются этим рядом и даже называют его спектром периодической функции, хотя истинно математическим спектром называется не ряд Фурье, а ряд смещенных дельта - функций. Все сказанное является хорошим примером того, как строгий математический подход иногда затрудняет физическое понимание явления или процесса.