Корреляция между непрерывными функциями

Если интервалы между точками числовых последовательностей X и Y сделать бесконечно малыми, а число точек n - бесконечно большим, то эти последовательности преобразуются в непрерывные функции:

.

Тогда сумма произведений чисел двух последовательностей преобразуется в интеграл от произведения этих функций на интервале от нуля до Т:

Полученное среднее значение произведения функцийf₁(t) и f₂(t)обозначается =R_В и называется их взаимной корреляцией на интервале от 0 до Т.

Для определения коэффициента взаимной корреляции двух функций используется такой же порядок действий, как и для дискретных последовательностей. И расчет рассмотрен для таких же двух случаев, когда и и когда и .

1) Находятся средние значения функций (обычно они равны нулю)

2) Находятся отклонения каждой из функций от среднего значения

при и ,

при и .

3) Находится среднее значение произведения этих отклонений

при и ,

при и .

3) Находятся средние квадратичные значения этих отклонений

при и ,

при и .

5) Находится коэффициент взаимной корреляции

при и ,

при и .

В рассмотренном случае обе функции сравниваются в одни и те же моменты времени (функции изменяются одновременно).

В общем случае нас может интересовать степень связи между двумя функциями не только тогда, когда они находятся на одном и том же интервале времени, но и при сдвиге (задержке) одной из функций относительно другой на некоторое время t_з. Влияние такой задержки на степень связи между функциями хорошо иллюстрируется примером, в котором определялось влияние уровня осадков на величину урожая. Действительно, если осадки произошли весной - урожай увеличивается, если во время уборки - урожай уменьшается, если после уборки - влияние осадков на урожай отсутствует. Поэтому меняя t_з можно получить различные значения корреляции. В этом случае взаимная корреляции зависит от времени задержки и становится функцией этого времени:

Это полное определение функции взаимной корреляции. Очевидно, что R_в (0) = R_в.

Если вместо двух разных функций дважды взять одну и ту же функциюf₁(t), причём одно из её значений сместить на время t_з, мы получим функцию автокорреляции (индекс "в" меняется на индекс "а"):

.

Очевидно, что при t_з = 0 получим:

.

R_a(0) всегда является наибольшим значением функции автокорреляции и, например, для напряжения, описываемого функцией , определяет среднюю мощность процесса, выделенную на сопротивлении 1 ом.

Если произвести нормирование:

то мы получим коэффициент автокорреляции функции f₁(t), зависящий от времени задержки, с пределами изменения от 0 до 1.