Равнопеременное движение тела

Движение по данной траектории называется равнопеременным, если среднее ускорение по направлению одно и то же за любой промежуток времени Dt.

Пусть тело движется равнопеременно по направлению х с ускорением а_х = const. Пусть в момент времени t₀ скорость по направлению равна υ_х0. Тогда скорость по направлению в произвольный момент времени t будет равна

υ_х(t) = υ_х0 + а_х(t – t₀). (5.6)

Задача 5.3. По графикам зависимостей а_х = а_х(t) (рис. 5.5) определить Dυ_х за время Dt и значение υ_х(t₁), если υ_х(t₀) = υ_х0.

Dt υх0 ax0	Рис. 5.5
Dυх = ? υх(t1) = ?

Решение.

1. На рис. 5.5,а, с одной стороны, движение равнопеременное, а_х0 > 0, Dυ_х = а_х0Dt > 0. С другой стороны, получаем, что Dυ_х можно вычислить как площадь заштрихованного прямоугольника под графиком а_х(t) со сторонами а_х0 и Dt. Тогда υ_х(t₁) = υ_х0 + Dυ_х = υ_х0 + а_х0Dt.

2. На рис. 5.5,б, с одной стороны, движение равнопеременное, а_х0 < 0, Dυ_х = а_х0Dt < 0. С другой стороны, получаем, Dυ_х = –| а_х0|Dt < 0, т.е. Dυ_х можно посчитать как минус площадь заштрихованного прямоугольника над графиком а_х(t) со сторонами |а_х0| и Dt. Тогда υ_х(t₁) = = υ_х0 + а_х0Dt.

Из решения задачи следует важный вывод: площадь под графиком а_х(t) на участке Dt равна Dυ_х > 0 за время Dt; площадь над графиком а_х(t) на участке Dt равна –Dυ_х за время Dt, где Dυ_х < 0.

Задача 5.4. Дан график зависимости а_х = а_х(t) (рис. 5.6). Известно, что υ_х(0) = = –2 м/с. Определите значения υ_х(t) в моменты времени: t₁ = 1 с, t₂ = 2 с, t₃ = 3с.

Решение.

1. На участке (0; 1) изменение проекции скорости Dυ_х1 равно площади над графиком а_х(t), взятой со знаком "минус": Dυ_х1 = –0,5 м/с. Тогда υ_х(1) = υ_х(0) + Dυ_х1 = (–2 м/с) + (–0,5 м/с) = –2,5 м/с.

2. На участке (1; 2) изменение проекции скорости Dυ_х2 равно площади под графиком а_х(t), взятой со знаком "плюс": Dυ_х2 = 0,5 м/с. Тогда υ_х(2) = υ_х(1) + Dυ_х2 =(–2,5 м/с) + 0,5 м/с = –2 м/с.

3. На участке (2; 3) изменение проекции скорости Dυ_х3 равно пло­щади под графиком а_х(t), взятой со знаком "плюс": Dυ_х3 = 0,5 м/с. Тогда υ_х(3) = υ_х(2) + Dυ_х3 =(–2 м/с) + 0,5 м/с = –1,5 м/с.

Ответ: υ_х(1) = –2,5 м/с, υ_х(2) = –2 м/с, υ_х(3) = –1,5 м/с.

СТОП! Решите самостоятельно: В5 (а), В6 (а,б), В8, С1.

Пусть тело движется равнопеременно и пусть в начальный момент мгновенная скорость по направлению равна , а в конечный момент . Тогда средняя скорость по направлению за данный промежуток времени равна:

. (5.7)

Докажем эту формулу.

1. Рассмотрим случай, когда > 0 и > 0. Тогда скорости по направлению равны путевым скоростям: = υ_нач, = υ_кон, движение является либо равноускоренным, либо равнозамедленным, а = υ_ср. Отсюда согласно формуле (5.2)

что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим случай, когда < 0 и < 0. Тогда = = –υ_нач, = –υ_кон, движение является либо равноускоренным | | > | |, либо равнозамедленным | | < | |. Отсюда справедливо

,

что и требовалось доказать.

3. Рассмотрим случай, когда в процессе движения υ_х(t) меняет знак. Пусть < 0 и > 0 (рис. 5.7). Тогда ,

Dх = s⁺ – s^– =

= . (1)

Пусть а_х – ускорение по направлению, тогда

Þ

, .

Подставим значения Dt₁ и Dt₂ в (1) и получим

= ,

,

=

= .

Поскольку , , то , что и требовалось доказать.

Случай > 0 и < 0 доказывается аналогично.

Задача 5.5.Тело брошено вертикально вверх со скоростью υ₀ = = 19,6 м/с. На какой высоте от земли будет находиться тело через t = 3 с, если известно, что скорость тела в этот момент равна υ₁ = = 9,8 м/с и направлена вниз? Движение считать равнопеременным.

υ0 = 19,6 м/с υ1 = 9,8 м/с t = 3 с	Решение. Направим ось х вверх (рис. 5.8). Пусть тело было брошено из точки с коор­динатой х = 0. Тогда = + υ0, = –υ1. Отсюда 14,7 м. Ответ: 14,7 м. СТОП! Решите самостоятельно: С4–С6.
h = ?
Рис. 5.8