Основное уравнение равнопеременного движения

Пусть материальная точка движется по заданной траектории равнопеременно. Известно, что а_х = const, υ_х(t₀) = υ_0х, х(t₀) = х₀. Тогда в момент времени t координата х(t) будет равна

. (6.1)

Доказательство.

x(t) = x₀ + Dx,

где

Dx =

= .

Отсюда , что и требовалось доказать.

Частные случаи:

1) если t₀ = 0, то

; (6.2)

2) если t₀ = 0 и х₀ = 0, то

; (6.3)

3) если t₀ = 0, х₀ = 0 и υ_0х = 0, то

; (6.4)

4) если направление движения не меняется, то путь, пройденный телом за время t, равен s = x(t) – x₀, т.е.

. (6.5)

Задача 6.1.Тело, двигаясь равноускоренно, за первые t₁ = 5 с своего движения прошло путь l₁ = 100 м, а за первые t₂ =10 с своего движения прошло путь l₂ = 300 м. Определите начальную скорость тела.

t₁ = 5 с t₂ = 10 с l₁ = 100 м l₂ = 300 м	Решение. Согласно формуле (6.2) имеем: ; (1) , (2)
υ₀ = ?

где а – путевое ускорение, a υ₀ – начальная путевая скорость.

Выразим а из уравнения (1): , . Подставим значение а в уравнение (2), получим:

Из последнего равенства получим значение υ₀:

Подставим численные значения:

м/с.

Ответ: м/с.

Стоп! Решите самостоятельно: А2, В1, В2, С1, С14.

Задача 6.2.Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью υ₁ = 108 км/ч, заметил на расстоянии l₀ = 180 м впереди движущийся в ту же сторону со скоростью υ₂= 32,4 км/ч товарный поезд. Машинист сразу же начал торможение с ускорением, по модулю равным |а| =1,2 м/с². Достаточно ли этого для того, чтобы поезда не столкнулись? Если столкновение произойдет, то через какое время?

υ₁ = 108 км/ч = 30,0 м/с υ₂= 32,4 км/ч = 9,00 м/с l₀ = 180 м \|а\| =1,2 м/с²	Решение. 1. Так как пассажирский поезд движется равнозамедленно, то a_х = –\|а\|. 2. Пусть x₁ – координата локомотива пассажирского поезда, а х₂ – координата
t_в = ?

конца последнего вагона товарного поезда. Тогда, считая t₀= 0, согласно формуле (6.3) можем записать уравнения:

; .

Условие столкновения: . Преобразуем это уравнение: .

Решим данное квадратное уравнение относительно искомой величины t_в:

Подставим численные значения:

t_в1 » 15 с, t_в2 » 20 с.

Что означают два значения t_в? Если бы поезда шли по параллельным путям, то передняя точка локомотива пассажирского поезда и задняя точка последнего вагона товарного поезда встретились бы дважды: сначала пассажирский поезд (через t_в1 = 15 с) обогнал бы последний вагон товарного поезда, а затем (в момент t_в2 = = 20 с) товарный поезд обогнал бы пассажирский. Следовательно, столкновения избежать не удастся и произойдет оно через t_в= 15 с после начала торможения.

На рис. 6.1 представлен примерный график зависимостей координат товарного и пассажирского поезда от времени.

Ответ:

= 15 с.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, В5, В6, С3.

Задача 6.3.Закон нечетных чисел. Тело движется равноускоренно без начальной скорости. За первую секунду тело прошло путь s₁= 1 м. Какой путь пройдет тело за 33-ю секунду своего движения?

s₁= 1 м t₁ = 1 с п = 33 υ₀ = 0	Решение. Пусть а – путевое ускорение тела. Вычислим путь, который тело пройдет за п-ю секунду движения. Этот путь равен разности между путем, пройденным за первые п секунд движения, и путем, пройденным за (п – 1) секунд движения: s_п = s_{пройденный за п с} – s_{пройденный за (п – 1) с},
s₃₃ = ?

Итак,

. (1)

За первую секунду тело прошло путь . Подставляя значение s₁ в формулу (1), получим:

s_n = s₁(2n – 1). (6.6)

Формула (6.6) получила название Закона нечетных чисел.

Вернемся к нашей задаче. Подставим в формулу (6.6) значения п = 33, получим:

s_n = s₁(2×33 – 1) = s₁ × 65 = (1 м) × 65 = 65 м.

Ответ: s_n = s₁(2n – 1) = 65 м.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, В7, В9, С9.

Задача 6.4.Тело начинает двигаться из точки О вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью υ₀ = 2 м/с. Какой путь прошло тело за время t = 3 с? Движение равнопеременное, ускорение по модулю равно |a| = 1 м/с².

υ₀ = 2 м/с t = 3 с \|a\| = 1 м/с²	Решение. Пусть ось х направлена вверх по наклонной плоскости, тогда υ_х₀ = + υ₀ = 2 м/с, а = –\|а\| = –1 м/с².
s = ?

Читатель: Наверное, мы можем в данном случае вычислить путь по формуле (6.5):

1,5 м.

Автор:Эта формула справедлива только в том случае, если направление движения не меняется. А так ли это?

В момент остановки скорость равна нулю. Пусть t_ост – время остановки тела, тогда согласно формуле (5.6) 0 = υ₀ + at_ост, отсюда

t_ост = – υ₀/а = –(2 м/с) : (–1 м/с²) = 2 с.

По условию задачи время движения t = 3 с > 2 с. Это значит, что, достигнув за 2 с верхней точки своего движения, тело остановилось, а затем в течение еще 1 с двигалось в обратном направлении (рис. 6.2).

Пусть х_max – координата точки поворота тела, x_к – конечная координата, а l = (x_max – x_к) – путь, пройденный телом в обратном направлении, тогда общий путь, пройденный телом, равен

s = x_max + l = x_max + (x_max – x_к) = 2x_max – х_к. (1)

Для вычисления x_max и x_к воспользуемся формулой (6.3). В нашем случае х₀= 0 и t₀= 0, тогда

, (2)

где υ_0х = +υ₀, а_х = –а.

Подставив в формулу (2) время t_ост, получим x_m_ах, а подставив t, получим х_к. Тогда согласно формуле (1) получим:

s = 2x_max – х_к = .