Частотный критерий Михайлова

Он также основан на характеристическом уравнении системы

Заменой оператора р на jw, где w - частота колебаний, уравнение переводится в комплексный вид, и может быть представлено вектором в комплексной плоскости, которой называют вектором Михайлова (или вектором характеристической функции).

р®jw. Тогда получим

,

А(jw) вектор Михайлова.

Члены с четной степенью дадут знакопеременный ряд действительных чисел, а члены с нечетными степенями – знакопеременный ряд комплексных чисел. Тогда

,

где А₁(w) – действительная часть; А₂(w) –комплексная часть.

Если изменять частоту w от 0 до +¥, то конец вектора Михайлова в комплексной плоскости (А₁, jА₂) будет поворачиваться, изменяя свою длину, и опишет кривую, которую называют годографом Михайлова (или годографом вектора характеристической функции).

Формулировка устойчивости по критерию Михайлова:

Система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении частоты от нуля до бесконечности, годограф Михайлова обходит последовательно в положительном направлении (то есть против часовой стрелки), n – квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения системы (рис. 74).

Если порядок прохождения квадрантов нарушается, система неустойчива (2); если годограф Михайлова проходит через нуль – система находится на границе устойчивости (3).

На практике, при решении задач устойчивости, достаточно найти частоты, при которых происходит пересечение годографа с осями координат. Для этого достаточно приравнять нулю вещественную и мнимую части вектора Михайлова.

, .

Расставив частоты по мере возрастания их значений, определяют значения А₁ и А₂. Если порядок пересечения годографа с осями координат чередуется по квадрантам (повторяет прохождение годографа) система устойчива, если порядок пересечения осей нарушается – система неустойчива.

Пример:

;

р®jw; .

.

; .

; ; .

; ; .

; ; .