Комплекс сандар өрісі

Егер рационал сандар өрісін қарастырғанда, өріс көпмүшеліктерінің түбірі бола бермейтінін көрдік. Мысалы көпмүшелігінің рационал түбірі жоқ. Бұл өрісте көпмүшелігі шығарылмайтын болады, себебі оның нақты түбірлері жоқ. Ең көп кездесетін сандық өріс – комплекс (кешен) сандар өрісі. Бұл өрісте кез-келген комплекс саннан -дәрежелі түбір алынады.

- өріс, ал өрісіне тиісті емес элемент. өрнегі болсын, мұндағы және өрісінің кез-келген шамалары, оны бойынша өрісінің сызықтық көпмүшелігі деп атайды. және шамалары көпмүшелігінің коэффициенттері.

бойынша екі сызықтық көпмүшелік тең болады, егер олардың қосылғыштары бірдей болса. өрісінің кез-келген және шамалары үшін:

1)

өрісінің бойынша барлық сызықтық көпмүшелігінің жиынын деп белгілейік:

жиынында амалдарын келесі формулалармен анықтайық:

2)

3)

4)

Кешен сандар өрісінде қосу және көбейту амалдары табиғи түрде жүргізіледі, тек қана шарты бойынша.

алгебрасын, сызықтық көпмүшеліктің алгебрасы деп атайды, мұндағы өрісінің бірлігі.

Теорема 3.1: - өріс болсын. өрісіндегі сызықтық көпмүшелігінің алгебрасы коммутативтік сақина, ал өрісі оның ішсақинасы.

Дәлелдеу: алгебрасының басты амалдары, өрісінің сәйкес басты амалдарының жалғасы. Шынында да -гі кез-келген үшін формуладан:

сонымен қатар алгебрасындағы элементі өрісінің бірлігі, яғни өрісі алгебрасының ішалгебрасы:

алгебрасы Абель тобы болып табылады. алгебрасында (2)

формула бойынша қосу коммутативті және ассоциативті, сол сияқты өрісінде де қосу коммутативті және ассоциативті. өрісінің нөлі алгебрасына қатысты бейтарап шама, себебі -ғы (1) және (2) формуладан шамасы үшін:

-ғы кез-келген элементінің қарама-қарсы элементі бар,

Осыдан алгебрасы абель тобы болып табылады.

алгебрасы коммутативті моноид. Шынында да (4) формула бойынша алгебрасындағы көбейту коммутативті, сол сияқты өрісінде де көбейту коммутативті. алгебрасының ассоциативті көбейтусін тексерейік:

осыдан:

алгебрасының көбейтіндісіне қатысты өрісінің бірлігі бейтарап шама, себебі:

Осыдан алгебрасы коммутативті моноид екені анықталды.

алгебрасында көбейту қосуға қатысты дистрибутивті:

осыдан:

коммутативті сақина екені дәлелденді, яғни өрісі сақинасының ішсақинасы болады.

коммутативті және ассоциативті амалдары және дистрибутивті қатыс арқылы байланысты, ал оларға кері амалдар: - және (0-ге бөлуден басқа) бар.

,

Олай болса кешен сандар - өріс құрайды, ¢ деп белгіленеді. Бұл өріс нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуі және өрісіне жиынына түбірінің қосылуы арқылы шығарылады. ¢ өрісі алгебралық тұйық: ¢- гі кез-келген коэфициентімен көпмүшелік, осы өрісте сызықтық көбейткіштерге жіктеледі. Кешен сандар өрісі өрісінің жалғыз минималь кеңейтілуі, мұнда теңдеуінің түбірі болады.

Анықтама: Комплекс (кешен) сандар өрісі деп нақты сандар өрісінің комплексті кеңейтілуін айтады.

Егер - нақты сандар өрісі, ал ¢–кешен сандар өрісі, өрісінің комплексті кеңейтілуі. ¢ өрісінің негізгі жиынын деп белгілейміз. жиынының шамаларын кешен сандар деп атаймыз. кешен саны, және -нан кез-келген кешен саны өрнегімен берілген, мұндағы , ол санының алгебралық формасы деп аталады.

Теорема 3.2: ¢= - кешен сандар өрісі нақты сандар комплексті кеңейтілуі және нақты сандар. Онда: формулалар және

1. Егер , онда

Дәлелдеу: , егер . Ал егер , онда және , бірақ бұл мүмкін емес, яғни болу мүмкін емес. Егер , яғни немесе өрістің нөлдік емес екі шамасының өрнегі нөлге тең емес,

Анықтама: Егер - өріс, мұндағы әрбір шаманың квадраты –ден өзгеше. өрісі -өрісінің комплексті кеңейтілуі деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

(1) Егер өрісінің ішөрісі болса

(2) болатындай, -де шамасының болуы.

(3) -өрісінде шамасының түрінде берілуі, мұндағы .

Сөйлем: – кез-келген шамасының квадрты -ден өзгеше болатын өріс болсын. -өрісінің комплексті кеңейтілуі және өрісінің шамасы, (2) және (3) шарттарды қанағаттандыратын. Онда өрісінің шамасы түрінде берілсе, мұндағы

Дәлелдеу: өрісінің кез-келген шамасы. (4) өрнегімен берілсін, мұндағы . Егер , онда және және , бірақ та бұл -өрісінің кез-келген шамасының квадраты -ге тең деген шартқа қарсы. Сондықтан мүмкін емес, және (4) формуладан .

Анықтама: кешен санының модулі деп санынан арифметикалық квадрат түбір, яғни саны. кешен санының модулі немесе деп белгіленеді. Сондықтан, анықтама бойынша,

Теорема 3.3: және кез-келген кешен санына:

(1)

(2) сонда ғана, егер

(3)

(4) егер

(5)

(6)

(7)

Дәлелдеу: 1 Егер , онда және

2. Егер , онда , себебі және нақты сандар, онда болғаннан , яғни .

3. (1)-қатысты теңдігінен (3) формула шығады.

4. (3) қатысты

5. (1) қатысты

Осыдан басқа, егер , онда .

Сондықтан , осыдан

(3) формуланың негізінде және соңғы теңсіздіктен болғанда: осыдан

6. және , онда (5) қатысты , осыдан

7. саны тең немесе , онда (7) теңсіздік (6) теңсіздіктен шығады.

Сонымен, кешен сандар өрісінде кез-келген квадрат теңдеу шығарылады.

Мысалы: теңдеуінің нақты түбірлері жоқ, себебі , бірақ оның кешен түбірлері бар:

2. квадрат теңдеуін шешейік. Мұндағы ; сондықтан

кешен санынан квадрат түбір аламыз, келесі формулалар бойынша

, , .

Соңғы формуладан үшін «+» таңбаны алып шығарамыз:

үшін де осы белгіні аламыз, себебі оң сан, сондықтан:

, осыдан және ,