Рістің қарапайым қасиеттері

Өріс, ол – сақина. Сондықтан сақинаның барлық қасиеттері өрісте орындалады. Олардан басқа кез келген сақинада орындалмайтын мына қасиеттер орындалады:

элементтері үшін

1⁰. ; 2⁰. ;

3⁰. ; 4⁰. ;

5⁰. (пропорция);

6⁰. (ортақ бөлім);

7⁰. ;

8⁰. (қысқарту).

Дәлелдеуі:

1⁰. болса, онда болады. Себебі болса, болмақ. Топтың 5⁰ қасиеті бойынша ден болды.

2⁰. Топтың 7⁰ қасиетінен шығады.

3⁰. және болсын. Онда бар болады. .

4⁰. 3⁰-ге контрапозицияны қолдансақ

.

5⁰. Топ үшін, егер болса, онда болатынын білеміз. Онда .

6⁰. .

7⁰ мен 8⁰ топтың қасиетінен шығады. ■

Өріс сақинаның ерекше класс тармағын құрайды.

Анықтама: Өріс – екіден кем емес элементтерден тұратын көпмүшелік, оған екі алгебралық бинарлы амал қолданылады, қосу және көбейту, екеуі де ассоциативті және коммутативті, бір-бірімен дистрибутивті заңмен байланысты, яғни кез-келген үшін:

Одан басқа өрісте нөлдік элемент (0) болуы мүмкін, яғни және кез-келген элементі үшін қарама-қарсы болады, яғни . бірлік элемент үшін және кез-келген нөлдік емес элемент үшін қарсы элемент , онда . Өрістің қосу бойынша барлық элементтері өрістің аддиативті тобын, көбейту бойынша өрістің мультипликативті тобын құрайды. Сонымен қатар нөлдік емес өрісте алу және бөлу амалдары да орындалуы мүмкін.

Өрістің қосу және көбейту амалдарының мысалдарына рационал сандар жиыны, нақты сандар жиыны, кешен сандар жиыны, түріндегі барлық сандар жиыны, мұндағы – рационал сандар, барлық алгебралық сандар жиыны, барлық рационалдық функциялар жиыны нақты коэффициентпен бір немесе бірнеше айнымалыдан тұратын. Өрістің элементтерінің жиыны шектеулі де болуы мүмкін. Мұндай өрістер Галуа өрістері деп аталады. Мұндай өрістерге мысал, модулі бойынша сақина өрістерінің айырмасы бола алады.

Әрбір өріс қарапайым сақина, керсінше де кез-келген нөлдік емес ассоциативті-коммутативті қарапайым сақина бірлігімен өріс бола алады.

Нөлдік емес сандық сақина, сандық өріс деп аталады, егер оның екі және сандарында жеке болса.

Өріс теориясының негізгі мақсаты – берілген өрістің барлық ішөрістерін, кеңейтулерін, өріс классификациясын толығымен изоморфизм және автоморфизм топтарын зерттеу арқылы бейнелеу.

Анықтама: Өріс деп коммутативті сақинаны айтады, мұндағы нөл бірден өзгеше және кез-келген нөлдік емес элемент сақинаның керіленетін элементі болып саналады.

Анықтама: Егер = - өріс. тобы өрістің аддитивті тобы болады, ал оның бейтарап элементі өрістің нөлі деп аталады және 0 белгісімен белгіленеді.

Анықтама: Өрістің ішөрісі деп өрістің ішсақинасын атайды, мұндағы әрбір нөлдік емес элемент керіленеді. Өрістің ішөрісі өзіндік ішөріс деп аталады.

Өріс қарапайым деп аталады, егер оның өзіндік ішөрістері болмаса.

Кез-келген өрістің жай бір ішөрісі болады.

Теорема 1.1: Егер - өріс, онда өрістің кез-келген элементтеріне:

1. егер , онда

2. егер және , онда

3. егер , онда немесе

4. егер және , онда

5. = сонда ғана, егер ,

6. =

7.

8. және - =

9. егер , онда =

10.

Дәлелдеу:

1. Егер , онда , себебі , және , өрісте мүмкін емес. Ал болғанда, оған кері бар.

2. Егер және , онда өрісте элементі бар және , яғни .

3. – ден немесе шығады. Егер , онда элементі бар және

4. (3)-ден контрапозициязаңы бойынша яғни

5. Егер яғни , онда және яғни теңсіздігінен болғанда және шығады.

6. және болғандықтан

7. және болғанда

8. болғанда

9. Егер онда

10. болғанда

Егер -дің ішөрісі болса, онда -өрісінің кеңейтілуі деп аталады.

Жай өрістен бастап барлық өрістерді талқылау, бейнелеу үшін кеңейтудің құрылымын зерттеу қажет. -ке бір элементтің қосылу кеңейтілуі жай деп аталады. Жай кеңейтулердің екі типі бар:

а) Трансцендентті жай кеңейту – ол -дің орнына коэффициенттері -тен бірайнымалы рационалдық функциялар өрісін алса құрылады.

в) Алгебралық жай кеңейту – -те жіктелмейтін кейбір жиынының түбірлерін -ке қосқанда және осы түбірде өрнектелетін барлық элементтерден құрылады.

Алгебралық кеңейтудің негізгі класына ақырлы жатады, яғни өрістегі ақырлы өлшемді векторлық кеңістік. Кез-келген кеңейтуді екі әдіспен шығаруға болады: бірінші трансцендентті кеңейту (рационал функциялар өрісін құрып), ал сосын алгебралық. Өрісте алгебралық кеңейту болмайды, егер оның әрбір көпмүшелігі сызықтық жиындарға жіктелетін болса, олар алгебралық тұйық деп аталады. Оған мысал кешен сандар өрісі болады.