Рістің алгебралық жай кеңейтілуі

Егер ішөрісі бар өріс болса, онда өрісінің кеңейтілуі деп аталады. Қарапайым жағдайда кеңейтілуі қрісінен және бір ғана элементінің қосылуымен жасалған. өрісінің жай кеңейтілуі, ал - осы кеңейтудің қарапайым элементі.

Егер бойынша өрісіндегі сақина палиномы болса, мұндағы – өрісінің ішөрісі. өрісіндегі элементі өрісігде алгебралық деп аталады, егер -гі оң дәрежелі кез-келген полиномның түбірі болса.

Анықтама: және болсын. элементі арқылы өрісінің жай кеңейтілуі дегеніміз Р жиынынан және элементінен тұратын өрісінің ең кіші ішөрісі. элементі арқылы Р өрісінің жай кеңейтілуі арқылы белгіленеді, өрісінің негізгі жиыны .

, бойынша – полиномдар сақинасы болсын және , яғни өрнектерінің жиыны, мұндағы және -кез-келген натурал сан.

Теорема 5.1: -ғы бойынша – полиномдар сақинасы болсын және өрісінің жай кеңейтілуі. -тің –ға бейнеленуі, сонда -гі кез-келген үшін. Сонда:

а) -гі кез-келген үшін

(b)

(c) гомоморфизм болып табылады сақина -тен сақина

(d) ,

(e) фактор-сақинасы –ға изоморфты.

Дәлелдеу: және тұжырымдары анықтамасынан шығады. бейнелеуі сақинасының негізгі операцияларын сақтайды, себебі -гі кез-келген және үшін:

,

(с) шарты бойынша ол -тің –ға бейнеленуі. Яғни гомоморфизм болып табылады сақина -тен сақина

(d) тұжырымы -дің бейнелену анықтамасынан шығады.

(е) гомоморфизм сақина -тен –ға болып табылатындықтан, фактор-сақинасы изоморфты сақинасына.

Салдар 5.2: - –өрісіндегі трансцендентті элемент,онда полиномдар сақинасы изоморфты сақинасына.

Дәлелдеу: -ның - трансценденттілігіне қатысты. Сондықтан . Сонымен қатар сақинасының фактор-сақинасы нөлдік идеал бойынша изоморфты. Осыдан