рістің күрделі алгебралық кеңейтілуі

Өрістің ақырлы кеңейтілуі. Ақырлы өріс немесе Галуа өрісі – элементтер саны ақырлы өріс. дәрежелі элементтер саны Галуа өрісі. Галуа өрісін алғаш рет 1832 жылы Э. Галуа қарастырды.

Кез-келген - жай және - натурал саны үшін элементтерінің бір ғана өрісі бар. Ол немесе деп белгіленеді. Мұндағы саны - өрісінің сипаттамасы, яғни өрісі р-мен сипатталатын жай өріс. өрісінің ішөрісі бар болады, сонда ғана, егер p=q және n m-ге бөлінеді.

– өрісінің ішөрісі болсын. Онда -ті -гі векторлық кеңістік деп қарстыруға болады, , осындағы - -тің элементтерін скалярына көбейту амалы.

Теорема 6.1: ақырлы өріс үшін және бүтін оң саны үшін, тек қана бір кеңейтілуі бар дәрежесінде.

Дәлелдеу: а) Жалғыздық. - дәрежелі кеңейтілуі болсын. және , -жай. Осыдан мультипликативті топта реті бар, ал Логранж теоремасы бойынша реттің әрбір элементі -ді бөледі. бұл өрісінің барлық элементтері жиынының әртүрлі түбірлері болады жіктелу орны бар. өрісінің ішөрісінің элементтерінің санының мұндай сызықтық жиындарға жіктелуі мүмкін емес, сондықтан - көпмүшелігіне жіктеледі.

Анықтама: өрісінің кеңейтілуін ақырлы деп атайды, егер - -ғы векторлық кеңістік және ақырлы өлшемділігі болса. Бұл өлшемділік арқылы белгіленеді.

Сөйлем: Егер – -ғы дәрежелі алгебралық элемент болса, онда

Анықтама: өрісінің кеңейтілуі алгебралық деп аталады, егер F-гі әрбір элемент Р-да алгебралық болса.

Теорема 6.2:Кез-келген өрісінің ақырлы кеңейтілуі -да алгебралық болады.

Дәлелдеу: - -тің -гі өлшемділігі болсын, теорема дұрыс болады, егер деп жориық, онда -гі кез-келген элементі –да сызықтық тәуелді, сонымен қатар -да нөлге тең емес бар, онда Осыдан шамасы -да алгебралық болады.

Сонымен қатар ақырлы емес кеңейтілу болатын алгебралық кеңейтілу бар.

-да кеңейтілуі алгебралық деп аталады, егер -тің барлық элементтері қатысты алгебралық болса. өрісінің кеңейтілуі күрделі деп аталады, егер өспелі тізбек болса.

Теорема 6.3: - өрісінің ақырлы кеңейтілуі, ал - өрісінің ақырлы кеңейтілуі болса, онда өрісінің ақырлы кеңейтілуі болады және .

Дәлелдеу: (1). - -ғы өрісінің базисі және

(2) - -гі өрісінің базисі. -гі кез-келген элементін базис арқылы келесі түрде сызықты бейнелеуге болады:

(3) .

коэффициенттерін (1) базис арқылы сызықты бейнелеуге болады:

(4) .

коэффициенттері үшін (3) –ге мән бере отырып, аламыз:

Сонымен өрісінің әрбір элементін жиынының сызықтық комбинациясы түрінде белгілейік: .

В жиыны элементтерінен тұрады.

өрісіндегі -тің базисі. Бізге элементтер жүйесінің жиыны сызықты тәуелсіз екенін көрсету қажет. Онда:

(5) мұндағы . Себебі -гі (2) жүйе сызықты тәуелсіз, онда (5) –ші теңдіктен шығады

(6) Себебі элементтері -да сызықтық тәуелсіз, онда (6) теңсіздіктен шығады:

бұл (5)-тің барлық коэффициенттері нөлге тең екенін көрсетеді. Сондықтан элементтер жүйесі сызықтық тәуелсіз және -ғы -тің базисі болады.

Осыдан , яғни өрісінің ақырлы кеңейтілуі.

Анықтама: өрісінің кеңейтілуі алгебралық құрама деп аталады, егер өрісінің ішөрістерінің өспелі тізбегі болса.

(1) ,мұнда өрісі өрісінің жай

алгебралық кеңейтілуі. cаны тізбектің ұзындығы деп аталады.

Салдар 6.4: өрісінің алгебралық құрама кеңейтілуі өрісінің ақырлы кеңейтілуі болып табылады.

Бұл салдардар (1) тізбектің ұзындығының индукциясымен дәлелденеді.

Теорема 6.5: өрісінде алгебралық өрісінің элементтері. Онда өрісінің ақырлы кеңейтілімі болады.

Дәлелдеу:

Онда өрісінің жай алгебралық кеңейтілуі; - өрісінің алгебралық жай кеңейтілуі, себебі

Сондықтан мұндағы , яғни (2) тізбектің барлық мүшелері алдыңғы тізбектің мүшесінің жай алгебралық кеңейтілуі. Осыдан өрісі өрісінің алгебралық құрамды кеңейтілуі. Яғни өрісі өрісінің ақырлы кеңейтілуі болады.

Салдар 6.6: Өрістің құрамды алгебралық кеңейтілуі осы өрістің алгебралық кеңейтілуі.

Теорема 6.7: сандық өрісі өрісінің құрама алгебралық кеңейтілуі болсын. Онда өрісінің жай алгебралық кеңейтілуі болады

Дәлелдеу: болсын, мұнда , осыдан

және -гі сандарына сәйкес минималды полиномдар болсын және . және -да келтірілмейді және кешен сандар өрісінде еселі түбірі жоқ.

- -гі полиномының түбірлері.

Ақырлы жиынын қарастырайық:

– сандық жиын болғандықтан, -да саны бар жиынының элементттерінен өзгеше,

(1) онда келесі қатынастар орындалады:

(2) шынында да теңдігі жағдайында боушы еді, бірақ бұл санын таңдауға қайшы келеді.

және бойынша полиномдар сақинасы. -гі полином. сақинасында және полиномдарының ең үлкен бөлгіші екенін көрейік. болғандықтан, ол -де -ді бөледі. (1) қатысты Сондықтан полиномы -да -де бөледі. Осыдан пен –дің ортақ бөлгіші.

және -де -дан өзгеше түбірлері жоқ екенін дәлелдейік. , олардың ортақ түбірі деп ұйғарайық. Онда . Осыдан индексі табылады, , бұл (2) қарама-қарсы. Осының негізінде -де пен –дің ортақ бөлгіші болады. - нормаланған полином , осыдан және –тің сақинасында ең үлкен ортақ бөлгіш. Сондықтан және одан басқа

Олай болса . Яғни . - - ның алгебралық элементі, онда өрісі ізделініп отырған өрісінің алгебралық жай кеңейтілуі.

Алгебралық сандар өрісі.

Анықтама: саны алгебралық деп аталады кейбір сандық өрісіне қатысты, егер ол кез-келген бір теңдеудің түбірі болса, барлық коэффициенттері -ға тиісті болса: , яғни келесі теңдік орындалады:

қатысты алгебралық емес сан, қатысты трансцендентті деп аталады.

Теорема 6.8: Барлық алгебралық сандардың жиыны кешен сандар ¢= сақинасында тұйық. алгебрасы ¢ өрісінің өрісі және ішөрісі болады.

Дәлелдеу: және -ның кез-келген элементтері, 6.6 салдары бойынша -де өрісі алгебралық. Сондықтан сандары алгебралық, яғни жиынына тиісті. Олай болса, жиыны сақинасының басты амалдарына қатысты тұйық. Сондықтан алгебрасы сақинасының ішсақинасы – сақина болады.