Нақты сандар өрісі

Алгебралық жүйесі, сызықтық реттелген жиын деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

1. -гі кез-келген үшін, егер және , онда ;

2. -гі кез-келген екі элементі үшін, берілген үш қатыстың біреуі орындалады: .

Анықтама: алгебралық жүйесі реттелген деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

1. алгебрасы өріс болса;

2. сызықтық реттелген жиын;

3. -гі кез-келген үшін, егер , онда ;

4. -гі кез-келген үшін, егер және , онда
Реттелген өрістің элементі оң болады, егер .

Анықтамабойынша болады сонда ғана, егер және болады сонда, егер немесе болса.

Мысалы: рационал сандар өрісі болсын және < жиынындағы қатынас. 2.1 теоремасындағы 1-4 шарттары бойынша орындалады. Яғни жүйесі реттелген өріс болады. Бұл жүйе реттелген рационал сандар өрісі деп аталады.

Теорема 4.1: Егер - реттелген өріс болсын және оның кез-келген элементтері. Онда:

1. тек сол жағдайда, егер

2. -гі кез-келген элементі үшін, үш қатыстың бірі орындалады

3. Егер және , онда және , яғни реттелген өрістің оң элементтерінің көбейтіндісі және қосындысы оң.

4. Егер және , онда

5. Егер және , онда

6. Егер , онда

7. және кез-келген

8. өрісі бүтін облыс.

Дәлелдеу: (1) бірсарынды қосу бойынша болады сонда ғана, егер болса. Осыдан тек сонда, егер .

(2) тұжырым ақиқат, егер - сызықтық реттелген жиын болса,

(3) және болғанда бірсарынды қосу бойынша шығады және . Бірсарынды көбейту бойынша және болғанда шығады және

(4) Егер және бірсарынды қосу бойынша және , осыдан

(5) (1)-ге қатысты және , онда және бірсарынды көбейту бойынша шығады және . Осыдан

(6) Бірсарынды көбейту бойынша, егер онда . Ал егер , онда және

(7) өрісінде (6) қатысты яғни реттелген өрістің оң элементтерінің жиынының қосындысы тұйық, -ден шығады , яғни нөлден айрықша натурал сан үшін.

(8) Өрістің кез-келген элементтері үшін, егер және , онда . Осыдан контрапозиция заңы бойынша, егер , онда немесе өрісі бүтін облыс болады.

Анықтама: Реттелген өрістің элементінің абсалют мәні деп белгіленеді және келесі түрде анықталады:

Анықтама: реттелген өрісі архимедовтік реттелген деп аталады, егер өрістің кез-келген және оң элементтері үшін, натурал саны болады, .

- реттік өрістің элементтерінің шексіз бірізділігі болсын. Оны немесе деп белгілейді.

Анықтама:Нақты сандар жүйесі деп толық архимедовтік реттелген өрісті айтады.

Егер - нақты сандар жүйесі. Онда алгебрасы өріс, ол нақты сандар өрісі деп аталады. жиыны нақты сандар жиыны деп аталады.

Теорема 4.2: және кез-келген нақты сандар үшін бүтін саны және нақты саны болады

Дәлелдеу: Егер , онда . деп жориық, жиын бос емес, себебі нақты сандар жүйесі архимедовтік реттелген. Натурал сандар жиыны реттелген және жиынының бос емес ішжиыны, сондықтан -нің ең кіші шамасы бар. Егер жиынының ең кіші шамасы, онда

.

десек, , деп аламыз.

деп жорысақ, онда дәлелденгендей және оң сандары үшін натурал саны және нақты саны бар

,

Осыдан . Егер болса, іздегенімізді табамыз, ал егер , онда жориық, онда , . – нөлден өзгеше натурал сан. Оң нақты санның - дәрежелі арифметикалық түбірін енгіземіз. Келесі теореманы дәлелдейік.

Теорема 4.3: Кез-келген оң саны үшін бір ғана оң нақты сан болады, онда .

Дәлелдеу: функциясы тұйық интервалында анықталған болсын, мұндағы . функциясы берілген интервалда үздіксіз, болғандықтан әр түрлі таңбаларды қабылдайды.

Теорема бойынша , ол үшін , яғни (1) .

Шынында, . деп оң санына жориық, мұнда , онда , бірақ ол (1) қайшы келеді. Ал егер , онда , бірақ та бұл да (1) қарама қарсы. Осыдан .

Анықтама: – оң нақты сан және – нөлден өзгеше натурал сан. Бір ғана - оң нақты саны, егер арифметикалық немесе -дан -дәрежелі басты түбір деп аталады және немесе деп белгіленеді.