РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯД

Ряды вида

(3.11)

называются степенными.

3.11.1 РЯД ТЕЙЛОРА

Пусть функция однозначная и аналитическая внутри ограниченной области G с центром в точке (рис. 3.13).

Тогда во всякой точке , находящейся внутри круга G, функция может быть представлена с помощью степенного ряда (3.11), коэффициенты которого вычисляются по формулам

.

В развернутой форме ряд имеет следующий вид:

(3.12)

Пример 3.4. Разложить в ряд в окрестности точки .

Поскольку

,

то в соответствии с (3.12)

3.11.2. РЯДЫ ЛОРАНА

Пусть функция является однозначной аналитической внутри кольца между концентрическими окружностями и с центром в точке (рис. 3.14). Тогда функция может быть представлена в этом кольце с помощью ряда Лорана

,

где

. (3.13)

Здесь C – произвольно выбранный замкнутый путь интегри­рования внутри кольца, по которому обходят точку против часовой стрелки.

Часто разложение функции можно получить, не прибегая к формуле (3.13) для вычисления коэффициентов . В этих случаях используются свойства бесконечной геометрической прогрессии

, .

Как известно, при сумма этой прогрессии

.

Пример 3.5.Разложить функцию

(3.14)

в кольце с центром в точке .

Функцию (3.14) можно представить в виде суммы дробей

.

Разложим каждую дробь в отдельности в ряд. Преобразуем дробь в выражение суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

. (3.15)

Аналогично поступим с дробью

. (3.16)

Складывая (3.15) и (3.16), получим искомый ряд для функции (3.14)

,

где , .