L – класс линейных функций.

L = {f(x1, ...)| f = c0Åc1x1Å...Åcnxn}; очевидно, L ¹ Æ, с другой стороны

L ¹ P2, так как x1&x2 Ï L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и |L(n)| = 2n+1. Покажем, что [L] Í L. Рассмотрим Ф = f(f1, ..., fm), где f, f1, ..., fn Î L. Тогда Ф = а0 Å а1(с10 Å с11х1 Å...Å c1nxn1) Å a2(c20 Å c21x1 Å c22x2Å ...Å c2nxn2)Å...Å an(cm0 Åcm1x1 Å ... Å cmnxnm) = в0 Å в1х1 Å ...Å вnхn Þ ФÎL.

5) Мкласс монотонных функций.

Определение. Набор = (a1, ..., an) предшествует набору = (b1, ..., bn) и обозначается , если для 1£i£n ai£bi, например: = (0010), = (0110), тогда . Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования ( ) является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.

Определение. Функция f(x1, ..., xn) называется монотонной, если для двух наборов и , таких что , выполняется f( ) f( ). Функции 0, 1, x, x1&x2, x1 Ú x2 Î M, x1¯x2, x1 Å x2, x1 ~ x2 Ï M.

Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается. Покажем, что М замкнутый класс. Рассмотрим функцию ФÎ[M], Ф = f(f1, ..., fm), где f, f1, ..., fmÎM, причем можем считать, что все они зависят от n переменных. Пусть набор = (a1, ..., an), = (b1, ..., bn). Рассмотрим Ф(a1, ..., an) = f(f1(a1, ..., an), …, fm(a1, ..., an)) и Ф(b1, ..., bn) = f(f1(b1, ..., bn), ..., fm(b1, ..., bn)). Здесь f1(a) f1(b), ..., fm(a) fm(b), тогда набор (f1(a), ..., fm(a)) (f1(b), ..., fm(b)), но тогда Ф(a) Ф(b), так как fÎM, отсюда Ф = f(f1, ..., ) – монотонная функция.

Определение. Функция f есть суперпозиция над M, если f реализуется некоторой формулой над M.

Лемма о немонотонной функции. Отрицание можно получить суперпозицией констант 0 и 1, тождественной функции и немонотонной функции.

Доказательство. Пусть f(x1, ..., xn) – немонотонная функция. Тогда существуют наборы и , для которых но Пусть i1, …, ik есть все те номера аргументов, для которых , p=1, …, k. На всех остальных аргументных местах j имеем aj = bj. В выражении заменим нули на местах i1, …, ik на x. В результате получим функцию g(x), для которой g(0) = f( ) = 1 и g(1) = f( ) = 0. Функция g(x) является отрицанием.

Классы T0, T1, L, S, M пересекаются, но не совпадают, что видно из следующей таблицы, где «+» означает, что функция принадлежит данному классу и «-» – не принадлежит.

  T0 T1 L S M
x + + + + +
- - + + -
+ - + - +
- + + - +
x1x2 + + - - +

A={x, , 0, 1, x1x2) не является полной системой функций так как всегда есть функции Î Р2 не входящие в эти классы.

Задачи

1. Доказать, что пересечение любых двух замкнутых классов замкнуто.

2. Доказать, что объединение двух замкнутых классов не всегда замкнуто.









Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 1168; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.012 сек.