Минимизация нормальных форм
Минимальной ДНФ (МДНФ) функции f(x1, ... ,xn) называется ДНФ, реализующая функцию f и содержащая минимальное число символов переменных по сравнению со всеми другими видами ДНФ, реализующими функцию f.
Если для всякого набора = (a1, ..., an) значений переменных условие g( )=1 влечёт , то функция g называется частью функции f (или функция f накрывает функцию g). Если при этом для некоторого набора = (c1, ..., cn) функция g( )=1, то говорят, что функция g накрывает единицу функции f на наборе (или что g накрывает конституенту единицы функции f). Заметим, что конституента единицы функции f есть часть функции f, накрывающая единственную единицу функции f.
Элементарная конъюнкция K называется импликантом функции f, если для всякого набора =(a1, ..., an) из 0 и 1 условие K( )=1 влечет f( )=1.
Импликант K функции f называется простым, если выражение, получающееся из него выбрасыванием любых множителей, уже не импликант функции f.
Ясно, что всякий импликант функции f есть часть функции f.
Теорема.Всякая функция реализуется дизъюнкцией всех своих простых имликант (ПИ).
Доказательство. Пусть f(x1, ..., xn) есть функция, а A = K1 v ... v Km – дизъюнкция всех ее простых импликант. Пусть = (a1, ..., an) – произвольный набор длины n из 0 и 1.
Если A( ) = 1, то найдется дизъюнктивное слагаемое Ki ( ) = 1, что влечет f( ) = 1, ибо Ki есть импликант функции f.
Если f( ) = 1, то в СДНФ для функции f найдется элементарная конъюнкция K, равная на этом наборе единице. Один из простых имликантов Kj функции f получается выбрасыванием некоторых множителей из K и потому Kj( ) = 1, а тогда A( ) = 1.
Следовательно, f = A. Теорема доказана.
Сокращенная ДНФ функции f есть дизъюнкция всех простых импликант функции f. Всякая функция f реализуется своей сокращенной ДНФ. Для всякой функции, не равной тождественно нулю, существует единственная сокращенная ДНФ.
Пусть A и B – произвольные формулы. Из свойств булевых операций вытекают следующие обратимые правила преобразования ДНФ:
1) – полное склеивание (развертывание);
2) – неполное склеивание;
3) – обобщенное склеивание;
4) – поглощение;
5) – идемпотентность ( удаление дублирующих членов).
Теорема( Квайна ). Если в СДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится сокращения ДНФ функции f.
Доказательство.Пусть имеем сокращенную ДНФ функции f. Проведем все операции развертывания к каждому простому импликанту для получения недостающих переменных в каждом дизъюнктивном слагаемом сокращенной ДНФ. В полученном выражении из нескольких одинаковых дизъюнктивных слагаемых оставим только по одному экземпляру. В результате получим СДНФ функции f. Теперь, исходя из полученной СДНФ, в обратном порядке проведем операции добавления одинаковых дизъюнктивных слагаемых (с помощью правил идемпотентности), неполного склеивания и поглощения. В итоге получим исходную сокращенную ДНФ.
Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 1658;