КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Пусть функция комплексного переменного определена и непрерывна на дуге C (рис

Пусть функция комплексного переменного определена и непрерывна на дуге C (рис. 3.10). Разобьем дугу C на "элементарные" дуги и пронумеруем точки деления в направлении от начальной точки к конечной . Введем обозначения

, , ... ,

, ... , .

Число изображается вектором, идущим от точки к . Выберем по одной точке на каждой элементарной дуге. Составим сумму

.

Предел этой суммы, вычисленной при условии, что , а длина наибольшей из элементарных дуг стремится к нулю, называется интегралом от функции по дуге C и обозначается следующим образом:

. (3.8)

Вычисление интеграла (3.8) сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций. Пусть

.

Тогда

Свойства интеграла ФКП:

1. Для любых постоянных и справедливо

.

2. При изменении направления интегрирования знак интеграла меняется на обратный:

. (3.9)

Здесь дуга геометрически совпадает с дугой C, но имеет противоположное направление. Свойство (3.9) следует из уравнения (3.8), в правой части которого при замене направления интегрирования все меняют свой знак.

3. Если дуга состоит из дуг , то

.