ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Говорят, что на множестве Е комплексной плоскости задана функция комплексного переменного (ФКП) , если задано правило, по которому каждому значению множества Е ставится в соответствие одно или несколько комплексных чисел из множества G значений функции . Множество G (функция ) называется многозначным, если каждому значению соответствует несколько значений .

Поскольку комплексное число характеризуется парой действительных функций, то задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций и двух действительных переменных и , т. е.

. (3.3)

Действительные функции и называются действительной и мнимой частями функции .

Геометрически задание функции означает, что установлен закон, по которому каждой точке области Е комплексной плоскости ставится в соответствие одна или несколько точек области комплексной плоскости . Таким образом, функция отображает область Е плоскости на область G плоскости (рис. 3.9).

Возможно и обратное отображение: каждой точке ставится в соответствие одна или несколько точек области Е. Это означает, что в области G задана функция комплексного переменного : . Она называется обратной по отношению к .

ПРЕДЕЛ ФКП

Пусть функция определена и однозначна в некоторой области E плоскости , кроме, быть может, точки (функция не определена, если содержит выражение вида ).

Говорят, что функция имеет предел при , стремящемся к , если для любой сколь угодно малой -окрестности точки можно найти -окрестность точки , что для всех точек этой -окрестности (кроме, быть может, самой точки ) соответствующие значения функции будут изображаться точками -окрестности точки , т.е. .

Согласно (3.6) из существования предела функции в точке следует существование пределов

,

причем .