КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

3.1.1. Определение комплексного числа

Число

( и – любые действительные числа, а – мнимая единица ) называется комплексным. Действительные числа и называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются как

Комплексное число допускает изображение в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 3.1), состоящей из оси действительных чисел (ось ) и перпендикулярной ей оси мнимых чисел (ось ). Координаты конца вектора равны проекциям вектора на действительную и мнимую оси: и . Иногда удобно комплексное число определять с помощью полярных координат: длины и угла : . Число называется модулем комплексного числа и равно

а число называется аргументом

. (3.1)

Модуль комплексного числа есть положительное число. Модуль отличен от нуля, если . Согласно (3.1) аргумент комплексного числа функция неоднозначная, его главное значение заключено в пределах , причем при модуль , а значение неопределенно.

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме. Поскольку , то

Тот же результат дает преобразование комплекса по теореме Эйлера

3.1.2. Свойства комплексных чисел

1. Равенство. Два комплексных числа и равны, если равны порознь их действительные и мнимые части, т.е. равенство равносильно равенствам и .

2. Сопряжение. Комплексное число называется сопряженным к числу , если , т.е. отличается от только знаком мнимой части (знаком аргумента ) (рис. 3.2).

3. Сложение и вычитание. При сложении (вычитании) комплексных чисел и складываются (вычитаются) отдельно их действительные и мнимые части:

. (3.2)

Геометрическая интерпретация правила (3.2) приведена на рис. 3.3.

4. Умножение. Оно осуществляется так же, как и умножение многочленов:

Удобно умножать комплексные числа, заданные в полярных координатах:

и .

В этом случае

. (3.3)

Нетрудно видеть, что произведение сопряженных комплексов и равно квадрату модулей этих чисел:

5. Деление. Оно определяется таким образом:

В полярных координатах это правило записывается проще:

6. Возведение в степень и извлечение корня. Из (3.3) следует, что

Аналогично для n умножений

. (3.4)

Уравнение (3.4) устанавливает правило возведения комплексного числа в степень .

Рассмотрим операцию извлечения корня из комплексного числа. Пусть . Применим правило (3.4) к числу :

Два комплексных числа, записанных в полярных координатах, равны друг другу тогда, когда равны их модули

а аргументы отличаются на число, кратное :

Отсюда следует, что имеется корней с модулем и аргументом , где . Тогда

. (3.5)

Дадим геометрическую интерпретацию результата. Как видно из (3.5), все комплексных корней имеют одинаковый модуль, а их аргументы отличаются на . Следовательно, на комплексной плоскости все они расположены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиусом , причем вектор расположен под углом к действительной оси (рис. 3.4).