Дискретных случайных величин

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Он может быть в виде таблицы, называемой рядом распределения, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая- вероятность Pi их появления:

где

Если множество возможных значений X бесконечно (счётно), то ряд p₁+p₂+…p_n+… сходится и его сумма равна 1.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на вероятности их появления:

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) M(C)=C;

2) M(CX)=CM(X);

3)

4) Для взаимно независимых случайных величин:

M(X₁X₂…X_n)= M(X₁) M(X₂) M(X₃)…M(X_n).

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Д[X]=M[X-M(X)]².

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1) Д(X)=M(X²)-[M(X)]²;

2) Д(C)=0;

3) Д(CX)=C² Д(X), где С- постоянная величина.

Для независимых случайных величин:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из её дисперсии:

Пример 60. Для проведения технологических испытаний из партии в 100 радиоэлектронных блоков, среди которых имеется 10 неисправных, взяты 5 блоков. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных блоков в выборке.

Решение. Число бракованных блоков в выборке может быть любым числом в пределах от 0 до 5, поэтому частные зна­чения x_i случайной величины X равны: х₁ = 0; х₂ =1; х₃ = 2; х₄ = 3; х₅ = 4; х ₆ = 5.

Общее число возможных элементарных исходов испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь n блоков из N, т. е. равно числу сочетаний из N элементов по п: . Среди п блоков d - бракованные. Из Q бракованных блоков можно взять d блоков способами, при этом остальные n - d блоков будут годными. Выбрать же п - d годных блоков из п - Q годных можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех элементарных исходов:

В нашем случае N = 100, Q = 10, п = 5, тогда вероятность того, что в выборке окажется d бракованных радиоэлектронных блоков (P = 0,1, 2, 3, 4, 5), равна

В результате расчетов по этой формуле с точностью до 0,001 получим

P ₁ =Р{ X =0} = 0,583; P₂ =Р{ X =1} = 0,340; P ₃ =Р{ X = 2} = 0,070; P ₄ =Р{ X =3} = 0_,007; P₅ =Р{ X =4} =0, P₆ =Р{ X =5} =0.

По результатам расчета выписываем ряд распределения:

x_L 0 1 2 3 4 5

P_dtn 0,583 0,340 0,070 0,007 0 0

Пример 57. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию. Все промежуточные вычисления удобно внести в таблицу:

Тогда получаем:

62. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

63. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

64. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Обставить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

65. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

66. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x₁ = 4 с вероятностью р₁ = 0,5; x₂ = 6 с вероятностью p₂ = 0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти x₃ и р₃, зная, что М(Х)=8.

67. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁= 1, x₂ = 2, x₃ = 3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 2,3, М(Х²) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

68. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

69. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а) X 4,3 5,1 10,6. б) X 131 140 160 180.

р 0,2 0,3 0,5 р 0,05 0,10 0,25 0,60

70. Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(Х)=0,9.

71. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3

р 0,4 0,6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядка.