jсм, j плотностей соответственнотока смещения, электрическоготока равны по величинеи противоположныпо знаку. Других проекций у векторов этих плотностей тока нет, поэтому векторы

jсм, j плотностей соответственнотока смещения, электрическоготока являются коллинеарными векторамии направлены в противоположныестороны, т.е.векторы jсм, j плотностей соответственнотока смещения, электрическоготока связаны между собой следующим соотношением: j = -jсм.(3.8)

На рис. 8.4 векторы изображены для случая, когда в некоторый момент времени q заряд на внутренней сфере уменьшаетсяво времени, т.е.(рис.6.2) из раздела 6.0 "Электрический ток" внутренняя сфера является "истоком" свободныхзарядов, а dq < 0. Поэтому (3.7) в некоторый момент времени jr проекцияна направление r радиуса - вектора вектора j плотности электрическоготока имеет численное положительное значение, а этот (рис. 8.4) вектор j плотности электрическоготока коллинеарен r радиусу- векторуи направлен с ним в однусторону. Тогда согласно (3.8) вектор jсм плотности тока смещения(рис. 8.4)и r радиус- векторявляются коллинеарными векторамии направлены в противоположныестороны.

Проекция jr на направление r радиуса - вектора вектора j плотности электрическоготокас учётом (3.6) имеет следующий вид: jr = Er/ρ = Dr0ερ. (3.9)

Подставляем (3.1) проекцию Dr на направление r радиуса - вектора вектора D электрического смещенияв (3.9) и получаем следующее выражение проекцииjr на направление r радиуса - вектора вектора j плотности электрическоготока: jr = q/4πr2ε0ερ, (3.10)

Согласно (3.8) проекция jrсм на направление r радиуса - вектора вектора jсм плотноститокасмещения с учётом выражения (3.9) имеет следующий вид: jrсм = - q/4πr2ε0ερ, (3.11)

где ρ = 1/σ- удельное сопротивление слабо проводящейсреды между концентрическими металлическими сферами, равноеобратной величинеσудельной проводимостиэтой среды;

ε - диэлектрическая проницаемость среды между концентрическими металлическими сферами; знак

"-" в (3.10) учитывает численное отрицательное значение проекции jrсм на направление r радиуса - вектора вектора jсм плотноститока смещения в случае (рис.8.4)численного положительного значения q заданного в условии задачи свободного заряда на внутренней сферы в некоторый момент времени; в случае численного отрицательного значения q заданного в условии задачи свободного заряда на внутренней сферы в некоторый момент временипроекция jrсм на направление r радиуса - вектора вектора jсм плотноститока смещенияимеет положительное значение.

Сила Iсм тока смещения сквозь (6.8) из раздела 6.0 "Электрический ток"

с учётом выражения (3.11) и перпендикулярности (рис. 08.1.4)вектора jсм плотноститокасмещения воображаемойзамкнутой поверхность Sr= 4πr2 площадью в некоторый момент времени имеет следующий вид: Iсм = ∫jсмdS = ∫jrсмdS = - q/4πr2ε0ερ ∫dS = - q4πr2/4πr2ε0ερ=- q/ε0ερ,(3.12) (Sr) (Sr) (Sr)

где jrсм = - q/4πr2ε0ερ -проекция jrсм на направление r радиуса - вектора вектора jсм плотноститокасмещениявынесенав (3.12) за знак интеграла вследствие того, что эта jrсм проекция на всей воображаемойзамкнутой поверхности Sr= 4πr2 площадью постоянна по величине; знак "-" в (3.12) учитывает противоположное направлениесилы Iсм тока смещения r радиусу - векторув случае

(рис.8.4)численного положительного значения q+ заданного в условии задачи свободного заряда на внутренней сферы в некоторый момент t времени; в случае численного отрицательного значения

q заданного в условии задачи свободного заряда на внутренней сферы в некоторый момент времени сила Iсм тока смещенияимеетодинаковое направлениес r радиусом - вектором.

 

Задача 3

 

В некоторой области K(x,y,z,t) неподвижнойинерциальной системы отсчёта (ИСО) имеется только электрическое поле, вектор Eнапряжённости которого находится в OXY плоскости и зависит от x, y координат согласноследующему уравнению:E = a(xi + yj)/(x2 + y2), где a В - постоянная. Определить выражение вектора B′индукции магнитного поля в K′(x′,y′,z′,t′) подвижной инерциальной системе отсчёта (ИСО), которая с нерелятивистским значением v модуля v вектора скорости перемещается относительно K(x,y,z,t) неподвижной ИСО в направлении OZ оси. Какой графический вид имеет векторное поле B индукции магнитного поля в K′(x′,y′,z′,t′) подвижной ИСО?

Дано: E = a(xi + yj)/(x2 + y2); v= vk /B′ = ?

 
 
Согласно преобразованиям Лоренца векторов Eнапряжённости электрического и Bиндукции магнитного полей в различных инерциальных системах отсчёта (9.1) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" (рис.8.5) вектор B′ индукции магнитного поля, перпендикулярный векторуvпостоянной скорости с нерелятивистским значением v модуля, с которым K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OZ осиK(x,y,z,t) неподвижной ИСО, имеет следующий вид: B′ =- [v,E])/c2, (4.1)


где учтено нерелятивистское значение v << c модуля постоянной скорости, с которым K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OZ осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО,вследствиечего (3.25) из раздела 3.0 "Релятивистская механика" релятивистский

β = 1/[1 - (v2/c2)]1/2 коэффициентпримерноравенединице, т.е. β ≈1.

Векторное произведение (4.1) в(1.1)из раздела 1.0 "Физические основы механики" прямоугольной декартовой системе координат имеет следующий вид:

B= - (1/c2)[- i(vay/(x2 + y2) + j(vax/(x2 + y2)] = - (1/c2)[a/(x2 + y2)]( - ivy + jvx) =

= - (1/c2){a/[(x′)2 + (y′)2]( - i′v y′ + j′vx′) = - (1/c2){a/[(x′)2 + (y′)2][vr]= [a/(r′)2c2][ rv], (4.2) где i =i′, j =j′ - равные вектора, поскольку равны их единичные модули и они имеютодинаковое направление, т.е. векторы параллельны и ориентированы в одну сторону; x=эта K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСО, y=y′ - равные координаты соответственно в K(x,y,z,t) неподвижнойИСО и в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО, поскольку эта K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСО перемещается относительно K(x,y,z,t) неподвижной ИСО в направлении OZ оси.

Согласно (4.2) вектор B индукции магнитного поля в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО перпендикулярен векторуvпостоянной скорости с нерелятивистским значением v модуля, с которымэта K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OZ осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО, а также перпендикулярен rрадиусу - вектору, направленному в точку пространства K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля.

Согласно (4.2) r′ модуль rрадиуса - вектора, направленного в точку пространства K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля, связан с

x′, y′ прямоугольными декартовыми координатамив этой K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО следующим уравнением окружности: r′ =[ (x′)2 + (y′)2]1/2, (4.3) т.е. вектор B индукции магнитного поля в точке пространства K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО лежит в

O'X′Y′ плоскости и направлен по касательной к окружности (4.3) r′ радиуса.

 

Задача 4

 

Векторы E напряженности электрического и B индукции магнитного полей в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСОпри (рис. 9.1), (рис. 9.2) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" её движении вдоль положительного направления OY осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО с вектором

vпостоянной скорости связаны с векторами E напряженности электрического и B индукции магнитного полей впроизвольнойM точке пространства неподвижнойИСО с использованием

(9.1) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" частных преобразованийЛоренца следующими соотношениями: E||= E||; B||= B||; E=(E+ [v,B])/[1-(v2/c2)]1/2; B=[B-([v,E])/c2]/[1-(v2/c2)]1/2, где E||= E|| - равныесоставляющие векторов E, E напряжённости электрическогополя, параллельные векторуvпостоянной скорости, с которой K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OY осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО; E,E-составляющие

векторов E, E напряжённости электрическогополя, перпендикулярные вектору

vпостоянной скорости, с которой K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OY осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО; B||= B|| - равныесоставляющие векторов

B, B индукции магнитного поля, параллельные векторуvпостоянной скорости, с которой

K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OY оси

K(x,y,z,t) неподвижнойИСО; B,B-составляющие векторов B, B индукции магнитного поля, перпендикулярные векторуvпостоянной скорости, с которой K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OY осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО.

Убедиться с помощью этих соотношений в инвариантностиследующих выражений: а)EB;

Скалярное произведение векторов E′ напряженности электрического и B′ индукции магнитного полей в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО (Рис. 08.1.5, Рис. 08.1.6) имеет следующий вид: E′∙B′ = (E′ +E||′)(B′ + B||′) = E||′∙B||′ , (5.1) где E′∙B′ = 0; E||′∙B′ = 0; E′∙B||′ = 0, вследствие перпендикулярности  
б) E2 - c2B2.

E

векторов E, B;E||, Bи E, B||.

Подставляем в (5.1) соотношения из условия: E||= E||; B||= B|| , вследствие чего получаем следующее выражение скалярного произведение векторов E напряженности электрического и

B индукции магнитного полей в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО: EB′ = E||B||′ = E||∙ B|| .(5.2)

Скалярное произведение векторов E напряженности электрического и B индукции магнитного полей в K(x,y,z,t) неподвижнойИСО (рис.8.5, Рис.8.6) имеет следующий вид:

E∙B = (E+E||)(B+ B||) = E||∙ B||, (5.3) где E∙ B= 0; E||∙ B= 0; E∙ B|| = 0, вследствие перпендикулярности векторов E, B;E||, Bи E, B||.

Согласно (5.2), (5.3) скалярное произведение векторов E напряженности электрического и

B индукции магнитного полей в K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО и скалярное произведение векторов

E напряженности электрического и B индукции магнитного полей в K(x,y,z,t) неподвижнойИСО равны друг другу, что свидетельствует обинвариантности EB а) выражения из условия данной задачи, т.е. оно выполняется в любой ИСО.

В неподвижной K(x,y,z,t) ИСО б) выражение из условия данной задачи имеет с учётом

(Рис. 08.1.5, Рис. 08.1.6) E = E+ E ||;B = B+ B|| следующий вид:

E2 - c2B2 = (E+ E || )(E+ E || ) - c2(B+ B||)(B+ B||) = E2 - c2B2 + E ||2- c2B||2 , (5.4) где E∙E || = 0; E||∙E= 0; B||∙B= 0; B∙ B|| = 0, вследствие перпендикулярности

векторов E, E || и B, B||.

В K′(x′,y′,z′,t′) подвижнойИСО б) выражение из условия данной задачи имеет с учётом

(Рис. 08.1.5, Рис. 08.1.6) E = E+E||;B=B+B||следующий вид:

E2 - c2B2 = (E+E||′)(E+E||′) - c2(B+B||′)(B+B||′) =E2 - c2B2 +E||2 - c2B||2, (5.5)

где E||E′= 0; EE||′= 0; B||B′ = 0; BB||′= 0, вследствие перпендикулярности

векторов E, E||и B, B||.

Подставляем в (5.5) выражения E||= E||; B||= B||; E=(E+ [v,B])/[1-(v2/c2)]1/2;

B=[B-([v,E])/c2]/[1-(v2/c2)]1/2 из а), б) условий данной задачи, вследствие чего получаем следующее соотношение: E2 - c2B2 = {(E+ [v,B])(E+ [v,B])/[1-(v2/c2)]} -

- c2{(B- [v,E] /c2)(B- [v,E] /c2)/[1-(v2/c2)]} + E||2 - c2B||2. (5.6)

Подставляем в (5.6) выражение B = B+ B||; E = E+ E||, где B, B|| и E, E|| -составляющие векторов соответственно B индукции и E напряженности магнитногои электрического

полей впроизвольнойM точке пространства неподвижной K(x,y,z,t) ИСО соответственно перпендикулярные и параллельные векторуvпостоянной скорости, с которой K′(x′,y′,z′,t′) подвижнаяИСОдвигается вдоль положительного направления OY осиK(x,y,z,t) неподвижнойИСО, и получаем следующее выражение: E2 - c2B2 = {(E+ [v,(B+ B||)])(E+[v,(B+ B||)])/[1-(v2/c2)]} -

- c2{(B- [v,(E+ E|| ) ]/c2)(B- [v,(E+ E|| )]/c2)/[1-(v2/c2)]} + E||2 - c2B||2 = {(E+ [v,B] +[v,B||])(E+

+ [v,B] +[v, B||])]/[1-(v2/c2)]}- c2{(B- [v, E/c2]- [v, E||/c2])(B- [v, E/c2]-[v, E||/c2])/[1-(v2/c2)]}+E||2 -

- c2B||2= {(E+ [v,B])(E+ [v,B])/[1-(v2/c2)]} - c2{(B- [v, E]/c2)(B- [v, E]/c2)/[1-(v2/c2)]} + E||2 -

- c2B||2 = {(E2+ [v,B]∙E+ E∙[v,B])+ [v,B]∙[v,B]/[1-(v2/c2)]} - c2 {(B2- [v, E]B/c2 - B[v, E]/c2+

+ [v, E]∙[v, E]/ c4)/[1-(v2/c2)]} + E||2 - c2B||2 ={(E2 + [v,B][v,B] /[1-(v2/c2)]} - c2{(B2+

+[v, E]∙[v, E]/c4)/[1-(v2/c2)]} + E||2 - c2B||2 = {(E2+ v2B2)/[1-(v2/c2)]} - {(c2B2+v2E2/c2)/[1-(v2/c2)]} +

+ E||2 - c2B||2 = [E2+ v2B2 - c2B2-(v2E2/c2])]/[1-(v2/c2)]}+ E||2 - c2B||2 = {E2[1 - (v2/c2)] - c2B2[1 - (v2/c2)]}/[1-(v2/c2)]}+ E||2 - c2B||2 = E2 - c2B2 + E ||2- c2B||2 , (5.7)

где при выводе (5.7) учтено, что [v, B||] = 0, [v, E||/c2] = 0, вследствие параллельности (Рис. 08.1.5, Рис. 08.1.6) векторов соответственно vи B||, v и E||, а также учтено, что[v,B]∙E= 0, E∙[v,B] = 0 и [v, E]B/c2 = 0, B[v, E] = 0, вследствиеперпендикулярности векторов соответственно [v,B] и E, [v, E] и B/c2.

Вследствие равенства (5.4), (5.7) E2 - c2B2 б)выражение из условия данной задачи является инвариантом, т.е. оно выполняется в любой ИСО.








Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 1544;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.03 сек.