Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂…Н_n, образующих полную группу ( ). Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на собственную условную вероятность события А:

Это равенство называют формулой полной вероятности.

Если известно, что событие А произошло, то вероятности гипотез могут быть найдены по формулам Бейеса:

Пример 35. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями в количестве 19, 6, 11 штук и могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0.85, 0.76 и 0.71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству.
1) Найти вероятность того, что этот электродвигатель проработает до конца гарантийного срока.
2) Двигатель не вышел из строя. Найти вероятность того, что он изготовлен соответственно первым или вторым заводом.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А – двигатель работает безотказно до конца гарантийного срока.
Гипотеза H_i – рабочий возьмет двигатель из продукции “i”-го завода. Из условия задачи P(H₁)=19/36, т.к. всего двигателей 36, а первый завод поставил 19; P(H₂)=6/36; P(H₃)=11/36. , следовательно гипотезы H_1, H_2, H₃ образуют полную группу. Условная вероятность того, что двигатель не выйдет из строя, если он изготовлен первым заводом P(A/H₁)=0.85; для второго завода P(A/H₂)=0.76; для третьего - P(A/H₃)=0.71. Тогда:

По формуле Бейеса найдем условные вероятности гипотез:

36. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

37. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей - на заводе №2 и 18 деталей - на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

38. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

39. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

36. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

40. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

41. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 дефект (если он есть) обнаруживается и существует ненулевая вероятность 0.03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный транзистор будет дефектным?

42. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха – то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

43. В коробке с немаркированными цифровыми микросхемами лежит 200 шестиэлементных инверторов, 100 схем совпадения, 50 JK-триггеров, 25 декадных счетчиков и 25 четырехразрядных сдвиговых регистров.

а) Какова вероятность того, что взятая наугад микросхема окажется JK-триггером?

б) Какова вероятность того, что взятая наугад микросхема не является ин­вертором?

в) Если известно, что первая взятая микросхема оказалась сдвиговым ре­гистром, то какова вероятность вытаскивания такой же микросхемы во второй раз?

44. Для задачи 44 дополнительно известно, что неисправны 10 % инверторов, 15 % схем совпадения, 18 % триггеров, а также 20 % счетчиков и сдвиговых регистров.

а) Какова вероятность вытаскивания наугад исправного счетчика?

б) Какова вероятность того, что извлеченная наугад микросхема исправна, если известно, что это JK-триггер?

в) Какова вероятность того, что извлеченная микросхема — декадный счет­чик, . если известно, что она исправна?

45. Предприятие выпускает небольшие электрические двигатели мощ­ностью 73,6, 368 и 736 Вт, работающие либо от однофазной сети питания пе­ременного тока с номинальным напряжением 120 или 240 В, либо от трехфаз­ной сети с номинальным напряжением 240 В. Различать эти двигатели можно только по маркировке. На складе имеется 3000 таких двигателей в количествах, указанных в таблице. На одном из двигателей маркировка отсутствует. Определите вероятность того, что

а) мощность этого двигателя равна 368 Вт,

б) сеть его питания должна быть однофазной с напряжением 240 В,

в) мощность двигателя 736 Вт, и он работает от трехфазной сети 240 В,

г) мощность двигателя 73,6 Вт и он предназначен для работы при напряжении сети 120 В.

47. Пусть для случая, описанного в предыдущей задаче, 10% двигателей для сети питания с напряжением 120 В и 5 % двигателей для однофазной сети питания с напряжением 240 В промаркированы неправильно. Какова вероятность того, что произвольно взятый двигатель

а) окажется неправильно промаркирован?

б) из группы двигателей для однофазной сети 240 В неправильно промар­кирован?