Классификация ошибок измерений

При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бываютгрубые, систематическиеислучайные. К грубым ошиб­кам относятся просчеты в измерениях по причине невниматель­ности наблюдателя или неисправности прибора, и они полно­стью должны быть исключены. Это достигается путем по­вторного измерения. Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину, их можно учесть при измерениях или вычислениях. Влияние систе­матических ошибок на результат измерений сводится к минимуму путем введения поправки к результату измерения или при­менением соответствующей методики измерений. Случайные ошибки имеют место при каждом измерении. Эти ошибки обусловлены точностью прибора, квалификацией наблю­дателя, влиянием внешней среды, и полностью исключить их из результатов измерений нельзя. Закономерность таких ошибок проявляется лишь при большом числе измерений.

Так как случайные ошибки исключить из результатов изме­рений нельзя, то возникают две задачи: как из результатов из­мерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи можно разрешить с помощью теории ошибок измерений.

В основу теории ошибок положены следующие свойства слу­чайных ошибок:

1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.

2. Ошибки не превышают известного предела.

3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.

4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

Арифметическая средина. Средняя квадратическая ошибка. Предельная и относительная

Ошибки

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодези­ческих измерениях одинаковой точности, за окончательный ре­зультат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.

Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: , то

(3.1)

Величина х называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины.

Разности между каждым измерением и арифметической сре­диной называются вероятнейшими ошибками измерений:

(3.2)

Сложив равенства (4.2), получим

. (3.3)

Из формул (4.1) и (4.3) следует, что .

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

, (3.4)

где — сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число из­мерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины вычисляется по формуле:

. (3.5)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т. е.

. (3.6)

Пример. Пусть линия измерена шесть раз. Необходимо определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Все вычисления приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

№ п.п	Длина линии, м.	V,см	V2	= 5,6 см
	225,26 225,23 225,22 226,14 225,23 225,12	+6 +3 +2 -6 +3 -8
xср =225,20

По формулам (4.4) и (4.5) вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения изме­ренной линии равна

.