Алгебры и алгебры множеств.

Некоторые сведения из математики.

При построении вероятностных моделей для экспериментов с не­счетным числом исходов возникают определенные трудности, но прежде чем рассматривать пути преодоления этих трудностей и изу­чать системы аксиом теории вероятностей, изложим некоторые сведения из теории множеств и теории меры, которые в дальнейшем будут играть существенную роль.

Будем рассматривать некоторое множество Ω и подмножества этого множества.

Определение. Класс U подмножеств из Ω называется алгеброй, если:

1) U;

2) из того, что , следует, что ;

3) из того, что , , следует, что .

Замечание. Если U-алгебра, то из того, что , , следует А∩В
принадлежит А.

Действительно, .

ПРИМЕРЫ

1. Пусть А — некоторое подмножество Ω, Тогда класс множеств

U = {Ω, Ø,A, Ā}

образует алгебру.

2. Пусть Ω=[0,1) и U — система подмножеств из Ω, каждое из которых представляет собой конечную сумму непересекающихся интервалов вида [а, b). Тогда U — алгебра.

3. Пусть Ω= [0,1) [0,1) и U—множество всех прямоугольников [а₁ b₁,) [a₂, b₂] и конечных сумм таких непересекающихся прямоугольников. Тогда U-алгебра.

Определение. Класс F множеств из Ω, называется σ-алгеброй, если:

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми эти расположения могут быть сделаны.

Теорема умножения.

Пусть некоторое первое действие можно выполнить способом, второе действие - способом, ..., n – тое действие - способом. Тогда все эти действия вместе можно выполнить способом.

Пример:

Игральную кость бросают 3 раза. Сколько различных комбинаций очков можно при этом получить.