Условные вероятности

В ряде случаев приходится рассматри­вать вероятности случайных событий, если известно, что произошло некоторое случайное событие B, имеющее положительную вероят­ность. Прежде чем давать точное определение условной вероят­ности, рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕРЫ

1. Пусть дважды брошена симметричная игральная кость. В—собы­тие, состоящее в том, что сумма появившихся очков меньше 4, а A— собы­тие, состоящее в том, что первый раз появилась 1. Вычислим условную веро­ятность Ρ (А/В) события A, если известно, что произошло событие В.

Пространство элементарных событий состоит из 36 исходов:

Ω = {(i,j):i= ,j= }.

 

События А и В — это следующие подмножества Ω:

A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)};

В = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}.

Заметим, что

AÇB={(1,1),(1,2)}.

Поэтому

 

Если известно, что событие В произошло, то событие A могло произойти лишь тогда, когда произошло одно из элементарных событий (1, 1) или (1, 2). По­этому естественно считать, что

2. Предположим, что пространство элементарных событий Ω состоит из n одинаково возможных элементарных событий, событию A благоприятствует т элементарных событий, β состоит из l исходов, событию АÇВ благоприят­ствует r исходов. Найдем Ρ (А/В).

Заметим, что

Если произошло событие B, то произошло одно из l элементарных событий; событие Л произойдет только тогда, когда произойдет одно из r элементарных событий, составляющих AÇ В. Поэтому

3. Пусть в квадрат Ω = [0, 1]2 наудачу бросают точку. Вероятность попадания во множество A равна m (А), где m (A) — площадь A.

Если мы интересуемся вероятностью Ρ (A/B) того, что точка попадает во множество A, при дополнительном предположении, что точка попадает во множество В, то естественно, считать, что вероятность Ρ (A/B) пропор­циональна Ρ (A Ç B), т. е.

Определение. Пусть (Ω, F, Р)—вероятностное прост­ранство, Ρ(B)>0, BÎF. Условной вероятностью со­бытия А при условии, что произошло событие В, называют

Из этого определения и свойств вероятности непосредственно

следует, что:

1) Р(A/B)³ 0;

2) Ρ(Ω/B)= 1;

3) Ρ (B/B)= 1,

4) если {Ai}— последовательность попарно несовместных случай­ных событий i Ç Aj), то

Докажем 2) и 4). Имеем:

 

 

Заметим также, что Ρ(B/B) = 1. Обозначим через F δ-алгебру всех множеств вида А Ç В, где AÌF. Из свойств 1) — 4) следует что (В, Fв, Ρ (× /В)) — вероятностное пространство.

Соотношение (1) можно записать в виде Ρ Ç В) = Ρ (Β) Ρ (А/В). Если Р(A)>0, то можно записать, что Ρ Ç В) = Ρ (A) Ρ (В/A). Итак, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если Р(B)>0, Р(A)>0, то имеют место равенства

Ρ (А Ç В) = Ρ (Β) Ρ (Α/В) = Ρ (A) Ρ (Β/Α). (2)

Соотношение (2) называют формулой умножения. Формула (2) допускает следующее обобщение.

Пусть A1.....,An — случайные события такие, что Р(А1Ç

Ç A2 Ç · · · Ç Ап-1) > 0. Поскольку

то из неравенства Р(А1ÇÇAn-1) > 0 следует, что

Следовательно, все условные вероятности определены.

Легко проверить (можно воспользоваться методом математической индукции), что

(3)








Дата добавления: 2016-02-27; просмотров: 585;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.