Теоретико-множественная интерпретация событий

Как известно, для множеств определено отношение порядка и над ними можно про­изводить определенные алгебраические опе­рации. Проанализируем содержательное зна­чение этих понятий в том случае, когда подмножества некоторого множества W ин­терпретируются как события, наблюдаемые о некотором эксперименте.

1. Само множество W, рассматриваемое как событие, характе­ризуется тем, что в результате эксперимента оно необходимо проис­ходит. Действительно, никакие другие результаты эксперимента, крометех, которые описываются точками wÎW, по определению невозможны. Множество W. называют достоверным собы­тием.

2. Подмножеством любого множества W считается пустое мно­жествоÆ, не содержащее ни одной точки W. Если Æ отождеств­лять с событием, то это событие в эксперименте не происходит. Его называютневозможным событием.

3. Подмножества данного множества W частично упорядочены. Пишут , если каждый элемент множества А содержится в В.

Если А и В — события, то означает, что, если событие А происходит, то событие В также происходит. В этом случае говорят, что из события А следует событие В (событие А влечет за собой событие В). Очевидно, для любого А, А Ì W. По определению принимают

Æ Ì А

4.Суммой двух множеств А È В называют множество, содержащее все элементы, входящие или во множество А, или во мно­жество В и не содержащее никаких других элементов.

Для событий это следует интерпретировать так: суммой (или объединением) двух событий А и В называют событие А È В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит или событие А, или событие B.

Аналогичный смысл имеет сумма лю­бого числа событий. Если I — произ­вольное множество значений некоторого индекса i, (i Î I) — некоторое мно­жество событий, то

сумма.(объединение) есть событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит

одно из событий .

Заметим, что для любого A

A È Æ = A; А È W =W.

Событие А È В играет роль точной верхней грани событий А и В. Это надо понимать так:

А Ì А È В; В Ì А ÈВ,

и если событие С таково, что A Ì С и В Ì С, то А È В Ì С.

5. Операция пересечения двух (или любого числа) множеств определяется следующим образом: пересечение А Ç В (или Ç ) есть множество, состоящее из тех и только тех элементов,

iÎ I

которые принадлежат как множеству А, так и множеству В (всем множествам , iÎ I)

На языке алгебры событий событие АÇ В ( ) происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие А, и событие В (все события , i Î I).

Пересечение событий называют также их совмещением. Отметим очевидные соотношения

A Ç Æ = Æ; A Ç W = A A Ç B Ì A; A Ç B Ì B

и если С Ì A Ç В, то С Ì A и С Ì В.

Таким образом, пересечение А Ì В можно рассматривать как точную нижнюю грань множеств A и В.

Отметим еще, что, как известно из теории множеств, в смысле введенного отношения порядка, операции Ç и È дистрибутивны:

Условимся два события. A и В называть несовместимыми, или дизъюнктными, если их совмещение есть со­бытие невозможное: A Ç B = Æ

Несовместимые события изображаются множествами, не имею­щими общих точек,

Последовательность событий A1, A2, ... (конечная или бесконеч­ная) называется дизъюнктной, или последовательностью несовместимых событий, если каждая пара из них является несов­местимой:

i, j; i¹ j.

6. Каждому множеству A можно поставить в соответствие дру­гое множество — его дополнение , состоящее из всех точек, кото­рые не входят в A.

Таким образом,

, .

Если A—случайное событие, то —событие происходящее тогда и только тогда, когда A не

происходит. Событие назы­вают событием, противоположным A.

7. Разность A\В двух множеств A и В есть множество, состоящее из элементов, входящих в А, но не входящих в В. Если A и В — событие, то A\ В событие — происходящее тогда и только тогда, когда происходит A, но не происходит В.Очевидно ,

.

Подытоживая сказанное, приведем таблицу, показывающую, как некоторые понятия теории множеств интерпретируются в теории вероятностей.

Обозначения	Язык теории множеств	Язык теории вероятностей
W	Универсальное множество	Пространство элементарных событий (элементарных исходов эксперимента)
w	Элемент W	Элементарное событие
А	Некоторое множество элементовw	Событие А (если wÎ А, то говорят что наступило событие А)
W	Множество всех w	Достоверное событие
Æ	Пустое множество	Невозможное событие
AÌB	А-подмножество B	Из наступления события А не­обходимо следует событие B
AÈB	0бъединение множеств А и B; множество точек, входящих или в А или в B	Событие состоящее в том что произошло А или B
AÇB	Пересечение множеств А и В , множество точек входящих и в А и в B	Событие состоящее в том что произойдет и А и B
AÇB=Æ	А и B непересекающиеся множества	А и B несовместные события
A\B	Разность множеств А и B	Событие состоящее в том что произойдет А но не произойдет B
	Множество всех тех w которые принадлежат бесконечному числу множеств из последовательности { }	Событие состоящее в том что произойдет бесконечное число событий из последовательности { }
	Множество всех тех w которые принадлежат всем за исключением конечного числа (множество тех w которые не принадлежат только конечному числу множеств )	Событие, состоящее в том, что произойдут все события за исключением конечного числа, событие состоящее в том что не произойдет только конечное число из событий последовательности
	Если то последовательность множеств { } имеет предел	Если то последовательность событий { }Имеет предел

Лекция №3