Вероятностные модели экспериментов, аксиомы теории вероятностей, свойства вероятностей и событий.

Определение. Произвольное непустое множество с произвольной сигма-алгеброй F подмножеств этого множества называется абстрактным пространством элементарных событий (исходов) с множеством (полем) F наблюдаемых событий абстрактного опыта. Будет использоваться обозначение .

Вероятностной мерой (вероятностью) на пространстве абстрактного опыта называется функция P, определённая на сигма-алгебре F, удовлетворяющая следующим условиям (свойствам, аксиомам).

1) Аксиома неотрицательности. Каждому событию ставится в соответствии неотрицательное число P(A) называемое вероятностью события.

2) Аксиома нормированности.

3) Аксиома сложения. Если - это последовательность событий из F, таких, что они попарно несовместные, то вероятность сумм этих событий равняется сумме вероятностей.

4) Расширенная аксиома сложения. Если - это бесконечная последовательность событий из F, попарные – совместны, то вероятность сумму этих событий равняется сумме вероятностей событий.

Определение - тройка, состоящая из непустого множества, сигма-некоторая сигма-алгебра этого множества, вероятности события, называется (абстрактной) вероятностной моделью (абстрактного) опыта с распределением вероятностей на поле этого опыта.

На данный момент можно дать следующее определение теории вероятностей. Предметом теории вероятностей является формальное изучение вероятностных моделей и взаимосвязанных с ними вопросов.

При построении вероятностной модели конкретного опыта, теория вероятности исходит из постулата, что с каждым опытом связана вероятностная модель этого опыта . При этом, постулируется в каждом опыте наличие множества элементарных исходов. И для решения большинства вопросов связанных с опытами, достаточно только предпологать наличие этих элементарных исходов, а не заниматься их детальным описанием.

Относительно сигма-алгебры событий F предполагается, что все события, относительно которых рассматриваются какие-либо вопросы в опыте, они принадлежат некоторой сигма-алгебре. Например, пересечению всех сигма-алгебр событий, содержащих рассматриваемое событие. , то . То есть пересечение любого семейства сигма-алгебр, является сигма-алгеброй. Если рассматривать какое-либо семейство событий .

Правильность выбора функции P должна подстверждаться практикой применения абстрактной модели к конкретному опыту.

Рассмотрим простейшие формальные свойства вероятности событий.

1) .

2) Если , то .

Доказательство:

…

3) Теорема о согласованности со статистической вероятностью. , то есть .

4) Теорема о вероятности противоположного события

5) Теорема о вероятности объединения двух событий , .

Доказательство:

6) Теорема объединения вероятности n событий.