Формула полной вероятности. Определение. Говорят, что набор случайных событий H1, ,Hn образует полную группу событий, если:

Определение. Говорят, что набор случайных событий H₁,…,H_n образует полную группу событий, если:

1) H₁ÈH₂È…ÈH_n= Ω; (4)

2) H_iÇ H_j =Æ (i¹j).

Теорема 2. Если H₁ ... ,H_n— полная группа событий и Ρ (H_i) > 0,i= то для любого случайного события AÎF имеет место равенство

P(A)= (6)

Равенство (4) называют формулой полной вероятности. Для доказательства заметим, что в силу (4)

В силу (5) случайные события H_i ÇA попарно несовместны. Поэтому

Формула (6) справедлива и для счетного набора событий, удов­летворяющего условиям (4) и (5).

Рассмотрим примеры применения формулы полной вероятности.

ЗАДАЧИ

1. Пусть имеется n одинаковых урн. Известно, что урна с номером i содержит m_i белых шаров, всего же шаров в этой урне N_i. Наугад выбрана урна, а из нее шар. Какова вероятность того, что взят белый шар?

Пусть H_i — событие, состоящее в том, что выбрана урна с номером i, а А — событие, состоящее в том, что взят белый шар. Тогда

Следовательно, по формуле полной вероятности

2. Среди N экзаменационных билетов п «счастливых·». Студенты подхо­дят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять «счастли­вый» билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым?

Вероятность взять «счастливый» билет для первого студента равна, оче­видно, . Пусть А событие, состоящее в том, что второй студент взял «счаст­ливый» билет. Можно сделать два предположения: H₁ — первый студент взял «счастливый билет», H₂ — первый не взял «счастливый» билет. По формуле полной вероятности

Итак, вероятность взять «счастливый» билет для второго студента также равна .

Формулы Байеса.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть набор событий H_i ,i= , образует пол­ную группу событий, причем Р(H_i)>0 для каждого i= . Тогда для любого случайного события В такого, что Р(В)>0, выполнены равенства

(7)

Формулы (7) называются ф ο ρ м у л а м и Б а и е с а. Общая схема применения этих формул при решении практических задач следующая. Пусть событие B может происходить в различных условиях, о характере которых можно сделать п гипотез H₁, H₂....,H_n .

Из каких-то соображений известны вероятности этих гипотез Ρ (H₁), ..., Ρ (H_n) (априорные вероятности), известны также услов­ные вероятности Ρ (Β/ H₁)..... Ρ (Β/Η_η). Предположим, что про­изведен опыт, в результате которого наступило событие B. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез H_i; формулы Байеса и дают выражение для условных вероятностей P(H_i/B) (эти вероятности называются апостериорными вероят­ностями).

Для доказательства (7) используем формулу умножения и фор­мулу полной вероятности. Имеем

Рассмотрим примеры применения формул Байеса.

ЗАДАЧИ

1. В урне находится п шаров. Возможна (п + 1) гипотеза о количестве белых шаров в урне: H₀,H₁,... Н_п, (H_i —гипотеза, состоящая в том, что в урне i белых шаров. Предположим, что все эти гипотезы одинаково вероятны:

Из урны наугад взяли шар, который оказался белым. Пусть В — событие, состоящее в том, что наугад взятый шар из урны—белый. Вычислить Р(H_i/В).

Имеем Ρ (В/H_i) = и по формуле (7)

Таким образом, наиболее вероятной является гипотеза Н_п.

2. Некоторая деталь производится на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в n раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе Р₁, на втором Р₂. Наугад взятая деталь оказа­лась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

Пусть H₁ — событие, состоящее в том, что взятая деталь изго­товлена на первом заводе, H₂ — событие, состоящее в том, что эта деталь изготовлена на втором заводе. Заметим, что

Пусть В — событие, состоящее в том, что наугад взятая деталь оказалась бракованной. По условию задачи Р(В/Н₁) = Ρ₁, (В/H₂) = Р₂. По формуле (7)