Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

Основные теоретические сведения

1. Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратичной таблицы

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс указывает номер строки, а – номер столбца квадратной таблицы.

Минором элемента называется определитель порядка, получаемый из определителя -го порядка, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

.

Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид

(разложение определителя по элементам -й строки).

2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

,

где – угол между векторами и .

3. Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет условиям:

1) , ;

2) ;

3) – правая тройка векторов;

– формула для вычисления площади треугольника.

4. Смешанное произведение трех векторов , , есть число, равное

.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа ; и – модуль и аргумент числа :

; .

Извлечение корня -ой степени ( – натуральное число) из числа производится по формуле

,

где .

Пример 1.Дана система линейных алгебраических уравнений:

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.

Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим

~ ~ .

Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.

а) Находим решение системы по формулам Крамера

где

б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~ ~

Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А^-1, определяемая по формуле:

где являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме: , отсюда находим - решение системы в матричной форме.

Решение системы:

таким образом,

Пример 2.Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в²=16. Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство и учитывая, что , находим а² = 16. Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y²=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .

Пример 3.Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.

1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:

,

где

.

;

.

2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

,

отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:

.

3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:

,

где - направляющий вектор ребра AD, - нормальный вектор грани АВС.

.

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:

.

.

.

.

Окончательно имеем

5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:

.

.

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).

6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле

,

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки D, - координаты направляющего вектора прямой DM. Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:

.