Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. 4 страница

. (2.34)

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.34), называется конусом второго порядка.

Изучим поверхность методом сечений.

В плоскости получаем ; единственная точка, удовлетворяющая этому уравнению – точка О(0, 0).

В плоскости получаем , это уравнение пары прямых .

В плоскости уравнение даст пару прямых .

В плоскостях получаем - это уравнение эллипса с полуосями (az₀/c) и (bz₀/c), линейно расширяющимися с ростом z₀.

В плоскостях и получим гиперболы и , с мнимой осью Oz. Поверхность изображена на Рис. 2.29.

2. 8.4.3. Однополостный гиперболоид.

Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью Ох . Вращая кривую вокруг оси Oz, и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим . Обозначая , имеем

. (2.35)

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.35), называется однополостным гиперболоидом.

Исследуем однополостный гиперболоид методом сечений. Уравнение пересечения поверхности с плоскостью z = 0 - эллипс с полуосями a и b. В плоскостях х = 0 и у = 0 получаем гиперболы и с мнимой осью Oz, в сечениях поверхности плоскостями z = z₀ получаем эллипсы , вершины которых находятся как раз на гиперболах в плоскостях х = 0 и у = 0. В плоскостях получим гиперболы . При условии гиперболы будут иметь действительную ось Oх; если , то мы получим гиперболы с действительной осью Oz; если , то в сечении получим пары пересекающихся прямых. Аналогично рассматривается сечение плоскостями . Получим уравнение , то есть гиперболы с действительной осью Oz при , с мнимой осью Oz при , и пары пересекающихся прямых при . Поверхность изображена на Рис. 2.30.

2. 8.4.4. Двуполостный гиперболоид.

Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью Оz . Как и в случае предыдущих поверхностей, вращаем кривую вокруг оси Oz и растягиваем получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим

, (2.36)

где .

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.36), называется двуполостным гиперболоидом.

Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями, а также параллельными им плоскостями.

При сечении плоскостями получим , откуда при (включая плоскость ) получим мнимый эллипс; при получим две точки с координатами и ; при получим уравнение эллипса. В плоскостях и получаем гиперболы с действительной осью Оz . Аналогично при сечении плоскостями и параллельных им плоскостях получаем гиперболы с действительной осью Оz . Иллюстрация двуполостного гиперболоида приведена на Рис. 2.31.

2.8.4.5. Эллиптический параболоид.

Рассмотрим в плоскости Охz параболу с уравнением . Вращая ее вокруг оси Oz и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим

, (2.37)

где .

Поверхность, имеющая каноническое уравнение вида (2.37), называется эллиптическим параболоидом.

Сечения плоскостями и дают параболы и . В сечении z = z₀ получим эллипс , при эллипс вырождается в точку, а при имеем мнимый эллипс. Поверхность изображена на Рис. 2.32.

2.8.4.6. Гиперболический параболоид.

Данная фигура не может быть получена вращением какой-либо кривой второго порядка. Каноническое уравнение этой поверхности

. (2.38)

Исследуем поверхность методом сечений. В плоскости у = 0 получим параболу , ветви которой направлены вверх вдоль оси Oz; в плоскости х = 0 - параболу , ветви которой направлены вниз вдоль оси Oz; в плоскости получим две пересекающиеся прямые . Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. В сечении плоскостью будут параболы , которые получаются перемещением вершин парабол в точку, лежащую на параболе при . Аналогично при сечении плоскостью имеем параболы , которые получаются перемещением вершин парабол в точку, лежащую на параболе при . При сечении плоскостью получим , то есть при сечениями будут гиперболы с действительной осью Ох , а при − гиперболы с действительной осью Оу. Поверхность изображена на Рис. 2.33. Дополнительно на Рис. 2.34 показаны сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями и параллельными им плоскостями.