Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры.

1.1.Координаты.Возьмем произвольную прямую, выберем единицу масштаба и положительное направление. Зафиксируем на прямой (принято называть такую прямую осью) произвольную точку О. Расстояние от нее до другой точки определится числом единиц длины в соответствующем отрезке.

А₂(-4) О(0) А₁(5) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Рис. 1.1

Знак числа показывает, в каком направлении от точки О нужно откладывать отрезок, чтобы попасть в соответствующую точку (точки А₁(5) и А₂(–4) на рис. 1.1, например). Число, стоящее в скобках, и есть координата. Этот пример иллюстрирует понятие одномерного пространства Rи одномерной системы координат.

Рис. 1.2 Рис. 1.1

y_n

x_n

O(0;0)

M_n(x_n;y_n)))

А как быть в двумерном случае (в пространстве R²)? Зададим единицу масштаба и две взаимноперпендикулярные оси. Точка их пересечения О называется началом, а оси – осями координат. Горизонтальную ось (ось абсцисс) обозначим Ох, а вертикальную (ось ординат) Оу. Буквы xи y ставят у обрыва осей в положительном направлении (рис. 1.2). Так вводится на плоскости система координат, называемая декартовой прямоугольной.

Проекции точки M_n на оси Ох и Оу (точки x_n и y_n соответственно, рис. 1.2)

позволяют определить координаты точки M_n как числа, выражающие длины отрезков Oх_n и Oу_n (x_n – абсцисса, y_n – ордината точки M_n). Символически положение точки M_n с известными координатами x_n и y_n записывается в виде M_n(x_n, y_n),произвольной точки – М(x,y), где x и y – текущие координаты.

Рассмотрим еще одну систему координат на плоскости – полярную. Она определяется заданием точки О (полюса), полярной оси, проходящей через нее, и направлением отсчета угла j между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс О с произвольной точкой М плоскости.

Полярными координатами точки М называют пару чисел r и j, где r – длина отрезка ОМ, а j – упомянутый угол в радианах.(Принятое направление отсчёта - против часовой стрелки от положительного направления оси.) Вернемся к рис. 1.2. Примем за полярную ось Oх. Для установления связи между декартовыми и полярными координатами точки M_n достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник OM_nх_n. Легко видеть, что

(1.1) Þ (1.2)

z_n

y_n

x_n

• m_n(x_n;y_n;z_n)

Рис. 1.3

Для произвольной точки М значения x_n и y_n заменяются текущими x и y. Соотношения (1.1) позволяют перейти от полярных координат к декартовым, а соотношения (1.2) – от декартовых к полярным.

Аналогично тому, как это делалось для плоскости, вводятся декартовы координаты в трехмерном пространстве R³. Задается единица масштаба и три взаимно перпендикулярные оси Oх, Oу и Oz, пересекающиеся в точке О. Положение точки однозначно определяется тремя числами – абсциссой x, ординатой y и аппликатой z (рис. 1.3) (к осям (координатам) x и y «добавили» ось (координату) z).

Контрольные вопросы.

1) Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2) Чем отличаются друг от друга декартовы координаты двух точек, симметричных относительно а) оси ОХ, б) оси ОУ, в) начала координат?

3) Напишите формулы преобразования координат а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

4) Какой вид примет формула, по которой определяется расстояние между двумя точками, если: а) точки имеют одинаковые ординаты, но различные абсциссы; б) точки имеют одинаковые абсциссы, но различные ординаты; в) одна из точек совпадает с началом координат?

5) Как определяется декартова прямоугольная система координат в пространстве? Как определяются координаты точки в пространстве?

1.2. Определители.Пусть дана квадратная (число строк равно числу столбцов) таблица (матрица) А из четырех элементов (чисел).

Назовем определителем второго порядка некоторое число D, соответствующее этой таблице и вычисляемое по правилу:

; (1.3)

(Из произведения элементов, стоящих по главной диагонали вычитается произведение элементов, стоящих по вспомогательной диагонали).

Аналогично может быть составлен определитель произвольного (N-го) порядка, соответствующий квадратной матрице, содержащей N строк и N столбцов. Сформулируем алгоритм его вычисления на примере определителя третьего порядка (N=3).

Для нумерации элементов определителя использованы двойные индексы, позволяющие однозначно определить местоположение элемента: первое число индекса – это номер строки, а второе – номер столбца, на перекрестье которых

расположен соответствующий элемент. (Строки и столбцы нумеруются сверху-вниз и справа-налево соответственно).

Пусть дан определитель N порядка. Минором M_mn элемента a_mn определителя (1 ≤ m ≤ N – номер строки, а 1 ≤ n ≤ N – номер столбца на перекрестьи которых элемент а_mn расположен) назовем определитель N – 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием m строки и n столбца. Алгебраическое дополнение элемента a_mn определим соотношением

(1.4)

Операция вычисления определителя с помощью вновь введенных величин называется раскрытием определителя по элементам его строки (столбца) и выполняется в соответствии со следующей теоремой: Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Несложно убедиться, что правило вычисления определителя второго порядка есть частный случай предложенного способа.

Определитель третьего порядка, раскрываемый по элементам первой строки, примет вид:

(1.5)

(Это соотношение известно как формула Саррюса.)

Полезно иметь ввиду следующие свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками.

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

5. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить соответственные элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число.