Векторы. Основные операции над векторами.

, где (АВ)_х и (АВ)_у – проекции отрезка АВ на соответствующие оси. Эта величина определена своим численным

значением и называется скалярной.

| | = АВ

= +

Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр называют линейными.

Сумму вида , где -скаляры, называют линейной комбинацией векторов (Или говорят, что вектор линейно выражается через ) Векторы называют линейно независимыми, если ни один из них не выражается линейно через другие (не может быть представлен их линейной комбинацией). Формальное определение таково: векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно – зависимыми, если l₁`а<sub>1</sub> + l<sub>2</sub>`а₂ +…+l_n`а_n = 0 (1.15),

где l₁, l₂, …, l_n – числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля. В этом случае один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Если соотношение (1.15) выполняется только в случае, когда l₁ = l₂ =… = l_n = 0,то`а<sub>1</sub>,`а₂, …,`а_n линейно независимы.

Вернемся к рис.1.4. Зададим направления осей Ох и Оу единичными векторами `iи`jсоответственно. Очевидно, что = + . Но очевидно также, что = `i ×АВ` = `i × (АВ)<sub>х</sub>и = `j × В`B = `j × (АВ)_у. Таким образом вектор `a в двумерных декартовых координатах можно представить в виде: `a = `i a<sub>x</sub> + `j a_y () а в трехмерных `a = `i a_x + `j a<sub>y</sub> + `ка_z, где а_х, а_у, а_z – проекции вектора`a на соответствующие оси, , а i,`j,`к – единичные векторы этих осей. Такое представление вектора называется разложением его по декартову ортонормированному базису. (Системе линейно независимых единичных векторов `i ,`j ,`к). (Базисом на плоскости называют любую упорядоченную пару `е<sub>1</sub>, `е₂ линейно независимых векторов. Вектор `a на плоскости можно единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде `а = а₁`е<sub>1</sub> + а<sub>2</sub>`е₂ (а₁, а₂ Î R), где а₁ и а₂ – координаты вектора `ав выбранном базисе (проекции вектора `а на соответствующие оси, направления которых заданы векторами`е<sub>1</sub>и`е₂). Вектор в разложении по базису запишется в виде `а( а₁, а₂).

Аналогично определяется базис в трехмерном пространстве, где любой вектор можно представить в виде `а = а<sub>1</sub>`е₁ + а₂`е<sub>2</sub> + а<sub>3</sub>`е₃ или `а( а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>), где а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub> координаты вектора `ав базисе (`е<sub>1</sub>,`е₂,`е₃).

Ортонормированным называется базис взаимноперпендикулярных векторов единичной длины (ортов).

Направление `аопределяется углами a, b, gобразованными с осями Ох, Оу, Оzсоответственно. Направляющие косинусы вектора `а определяются выражениями: (1.16)

и связаны соотношением: cos²a + cos²b + cos²g = 1 (1.17).

Линейные операции над векторами, данными в разложении по декартову базису записывают так: `с = `а + `b = (a<sub>x</sub> + b<sub>x</sub>)`i +(a_y + b_y)`j + (a<sub>z</sub> + b<sub>z</sub>)`к(1.18)и `а l = a_x li + a_y lj + a_z lк(1.19)

Произвольной точке М (х, у, z) можно поставить в соответствие вектор `r,соединяющий начало координат с точкой М, называемый радиусом – вектором точкиМ и обозначаемый `r (М). Очевидно, что `r = `i x + `j y + `кz, где x, y, z координаты этой точки. Вектор где А (x₁, y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂) начало и конец вектора можно представить в виде = `r<sub>2</sub> – `r₁.

Контрольные вопросы.

1) Что называется вектором? Что называется модулем вектора?

2) Как определяется равенство векторов?

3) Как определяются операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр (линейные операции над векторами)? Каковы их свойства?

4) Как определяются координаты вектора в пространстве?

5) Как выражаются модель вектора и его направляющие косинусы через координаты вектора?

6) Как выражаются координаты вектора через координаты точек, являющихся началом и концом этого вектора?

7) Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве.

8) Как производится сложение векторов и умножение вектора на скаляр (линейные операции над векторами), если векторы заданы своими координатами?

Тест 6.

1) Найдите координаты вектора и его длину, если даны точки А(1,2,3) и В(3,-4,6) и укажите верный ответ:

а)

б)

2) Построить параллелограмм на векторах и и определить его диагонали и указать верный ответ:

а) б)

1.5.2. Скалярное произведение.Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними: `а ×`b= abcos j (1.20).

Свойства скалярного произведения:

1) `а ×`а = а² (`а² = а²)

2) `а ×`b = 0 если `а = 0, `b = 0, `а =`b = 0 или `а ^`b (j = p / 2)

3) `а ×`b =`b ×`а (переместительный закон)

4) `а (`b + `с) =`а`b +`а`с (распределительный закон)

5) (l`а)`b = `а(l`b) = l(`а`b) (сочетательный закон по отношению к

скалярному множителю).

Из 1) следует, что `i<sup>2</sup> = `j ² = `к<sup>2</sup> =1, а из 2) что `i `j = `i `к =`j `к = 0 (единичные вектора ортогональны (взаимно-перпендикулярны)).

Если вектора `а и`b заданы своими координатами (проекциями на оси Ох, Оу, Оz), то `а`b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (1.21).

Действительно, `а`b = (`i a<sub>x</sub> + `j a_y + `к a<sub>z</sub>) (`i b_x + `j b<sub>y</sub> + `к b_z) = `i<sup>2</sup> a<sub>x</sub> b<sub>x</sub> + `i `j a<sub>y</sub> b<sub>x</sub> + `к`i a<sub>z</sub> b<sub>x</sub> + `i `j a<sub>x</sub> b<sub>y</sub> +`j² a_y b_y + `к `j a_z b_y + `i `к a_x b_z + `j`кa_yb_z + `к² a_zb_z = [мы уже знаем, что квадраты ортов равны 1, а попарные произведения – 0] =a_xb_х + a_yb_y + a_zb_z.

Контрольные вопросы.

1) Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) По какой формуле можно вычислить угол между двумя векторами?