Векторное произведение.

j
Рис. 1.6
Векторным произведением вектора `а на вектор `b называется вектор `с = `а ´`b, определяемый следующим образом (рис 1.6):

 

1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на `а и`b; j– угол между векторами)

2) `с перпендикулярен `а и`b

3) векторы`а,`b,`с после приведения к общему началу образуют (так же как `i,` j, `к) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца вектора`сна векторы `аи `b, то вектор `а для совмещения с вектором `b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1) `а ´`b = -`b ´`а (векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2) `а ´`b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0)

3) (m`а ) ´`b = `а ´ (m`b) = m`а ´`b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4) `а ´ (`b +`с ) = `а ´`b +`а ´`с (распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i = `j `j = `к `к = 0;

`i `j = –`j ` i = к; `j `к = –`к `j = `i; ` i `к = – `i `к = `j

Эти соотношения наглядно иллюстрируются следующим рисунком –

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: `j ´`к =`i;если “по

часовой” – с минусом: `к ´` j = –`i.

 

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´`b = (`iax + `jay + `кaz) (`ibx + `jby + `кbz) = `i ´`iaxbx + +`j ´`iaybx +`к ´`jazbx +`i ´`jaxby +`j ´`jayby + `к ´`jazby +`j ´`к axbz + +`j ´`кaybz +`к ´`кazbz =`i (aybz – azby) – `j (axbz – azbx) +`к (axby – aybx).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов `а и`b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Контрольные вопросы.

1) Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторой-сомножителей?

2) Каковы условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов и как они выражаются через координаты векторов?

Тест 7.

1) Определить угол между векторами и и указать верный ответ:

а) , б) .

2) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4),В(1,0,6),С(4,5,-2) и выбрать верный ответ:

а) 24, б) 24,5.

 

1.5.4. Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

 

Смешанным произведением векторов `а,`b,`с называют скалярное произведение вектора `а ´`b на вектор `с, т.е. `а`b`с = (`а ´`b)`с(1.23)

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2) смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (`а ´`b)`с = `а (`b ´`с).

3) смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: `а `b`с = `b`с`а = `с`а `b

4) при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: `b`а `с = –`а `b`с ; `с `b`а = –`а `b`с; `а `с`b = –`а `b`с

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид: (1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V1 и пирамиды V2 построенных на `а,`b,`с определятся так: V1 = |`а `b`с| и V2 = 1 / 6 |`а `b`с | (1.26).

 

Контрольные вопросы.

1) Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) Каковы условия компланарности трёх векторов и как они выражаются через координаты векторов?

 

Тест 8.

1) Вычислить объём пирамиды с вершинами О(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и указать верный ответ:

а) 14 куб.ед., б) 12 куб.ед.

2) Лежат ли точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и Д(5,0,-6)? Выбрать верный ответ и обосновать его.

а) да, б) нет

 

1.5.5 Собственные значения и собственные векторы матрицы.Характеристическим уравнением матрицы называют уравнение = 0 (1.27)

Корни этого уравнения называют характеристическими числами (собственными значениями) матрицы.

Система уравнений, в которой l имеет одно из значений и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел 1, х2, х3), соответствующую данному характеристическому числу. Эта совокупность чисел с точностью до постоянного множителя определяет ненулевой вектор , называемый собственным вектором матрицы. Таким образом, квадратная матрица 3-его порядка имеет три собственных значения и три собственных вектора. (В общем случае среди собственных значений могут быть и кратные (одинаковые), в том числе и комплексные и мнимые. Собственные значения симметрической матрицы- только действительные числа.) Векторы эти могут быть записаны в матричной форме, в виде вектора-столбца, где t– произвольное постоянное

число. (1.28) (Зачастую его удобнее использовать, чем уже привычный вектор-строку).

 

Пример: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: . Характеристическое уравнение матрицы примет вид: Раскроем определитель по элементам первой строки

Теперь можно найти собственные векторы матрицы

 

I.

 

Используя (1.10) найдём

II.

(1) - разделим 3-ий столбец на 2, (2) - заменим строки столбцами, (3) - вычтем из 2-ой строки 1-ую, (4 - вычтем из 3-ей строки 2-ую, используя (1.10) найдём: .

III. Аналогично вычисляется собственный вектор и для .

 

Контрольные вопросы.

1) Что называют характеристическим уравнением матрицы?

2) Что такое характеристические числа (собственные значения) матрицы?

3) Что такое собственный вектор матрицы?

 








Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 967; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2023 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.019 сек.