Векторное произведение.

1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на `а и`b; j– угол между векторами)

2) `с перпендикулярен `а и`b

3) векторы`а,`b,`с после приведения к общему началу образуют (так же как `i,` j, `к) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца вектора`сна векторы `аи `b, то вектор `а для совмещения с вектором `b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1) `а ´`b = -`b ´`а (векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2) `а ´`b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0)

3) (m`а ) ´`b = `а ´ (m`b) = m`а ´`b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4) `а ´ (`b +`с ) = `а ´`b +`а ´`с (распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i = `j `j = `к `к = 0;

`i `j = –`j ` i = к; `j `к = –`к `j = `i; ` i `к = – `i `к = `j

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: `j ´`к =`i;если “по

часовой” – с минусом: `к ´` j = –`i.

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´`b = (`ia<sub>x</sub> + `ja_y + `кa<sub>z</sub>) (`ib_x + `jb<sub>y</sub> + `кb_z) = `i ´`ia_xb_x + +`j ´`ia_yb_x +`к ´`ja_zb_x +`i ´`ja_xb_y +`j ´`ja_yb_y + `к ´`ja_zb_y +`j ´`к a_xb_z + +`j ´`кa_yb_z +`к ´`кa_zb_z =`i (a<sub>y</sub>b<sub>z</sub> – a<sub>z</sub>b<sub>y</sub>) – `j (a_xb_z – a_zb_x) +`к (a_xb_y – a_yb_x).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов `а и`b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Контрольные вопросы.

1) Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторой-сомножителей?

2) Каковы условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов и как они выражаются через координаты векторов?

Тест 7.

1) Определить угол между векторами и и указать верный ответ:

а) , б) .

2) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4),В(1,0,6),С(4,5,-2) и выбрать верный ответ:

а) 24, б) 24,5.

1.5.4. Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

Смешанным произведением векторов `а,`b,`с называют скалярное произведение вектора `а ´`b на вектор `с, т.е. `а`b`с = (`а ´`b)`с(1.23)

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2) смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (`а ´`b)`с = `а (`b ´`с).

3) смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: `а `b`с = `b`с`а = `с`а `b

4) при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: `b`а `с = –`а `b`с ; `с `b`а = –`а `b`с; `а `с`b = –`а `b`с

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид:

(1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V₁ и пирамиды V₂ построенных на `а,`b,`с определятся так: V<sub>1</sub> = |`а `b`с| и V₂ = 1 / 6 |`а `b`с | (1.26).

Контрольные вопросы.

1) Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) Каковы условия компланарности трёх векторов и как они выражаются через координаты векторов?

 

Тест 8.

1) Вычислить объём пирамиды с вершинами О(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и указать верный ответ:

а) 14 куб.ед., б) 12 куб.ед.

2) Лежат ли точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и Д(5,0,-6)? Выбрать верный ответ и обосновать его.

а) да, б) нет

 

1.5.5 Собственные значения и собственные векторы матрицы.Характеристическим уравнением матрицы называют уравнение = 0 (1.27)

Корни этого уравнения называют характеристическими числами (собственными значениями) матрицы.

Система уравнений, в которой l имеет одно из значений и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (х₁, х₂, х₃), соответствующую данному характеристическому числу. Эта совокупность чисел с точностью до постоянного множителя определяет ненулевой вектор , называемый собственным вектором матрицы. Таким образом, квадратная матрица 3-его порядка имеет три собственных значения и три собственных вектора. (В общем случае среди собственных значений могут быть и кратные (одинаковые), в том числе и комплексные и мнимые. Собственные значения симметрической матрицы- только действительные числа.) Векторы эти могут быть записаны в матричной форме, в виде вектора-столбца, где t– произвольное постоянное

число. (1.28)

(Зачастую его удобнее использовать, чем уже привычный вектор-строку).

 

Пример: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: . Характеристическое уравнение матрицы примет вид: Раскроем определитель по элементам первой строки

Теперь можно найти собственные векторы матрицы

 

I.

 

Используя (1.10) найдём

II.

(1) - разделим 3-ий столбец на 2, (2) - заменим строки столбцами, (3) - вычтем из 2-ой строки 1-ую, (4 - вычтем из 3-ей строки 2-ую, используя (1.10) найдём: .

III. Аналогично вычисляется собственный вектор и для .

 

Контрольные вопросы.

1) Что называют характеристическим уравнением матрицы?

2) Что такое характеристические числа (собственные значения) матрицы?

3) Что такое собственный вектор матрицы?