Квадратичные формы.

Квадратичной формой переменных х1, х2,…,хn называют многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий членов нулевой и первой степени.

При n=2

при n=3

А = , где aij = aji называют матрицей квадратичной формы . Матрица А симметрическая, собственные значения её- действительные числа.

Пусть нормированные собственные векторы в ортонормированном базисе е1, е23. Векторы также образуют ортонормированный базис. - матрица перехода о т базиса е123 к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису примут вид:

Переходя к новым координатам получаем квадратичную форму не содержащую членов с произведениями переменных. Квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. (Предполагалось, что среди собственных чисел матрицы А нет кратных. В случае, если они есть, задача решается немного сложнее).

Пример: Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2+12ху+8у2=80. В левой части - квадратичная форма с матрицей . Найдём собственные значения: Матрица преобразования принимает вид квадратичная форма преобразуется к канонической, а уравнение линии к виду или - (каноническое уравнение эллипса).

 

Контрольные вопросы.

1) Что называют квадратичной формой?

2) Что называют матрицей квадратичной формы?

 








Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 728;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.