Квадратичные формы.
Квадратичной формой переменных х1, х2,…,хn называют многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий членов нулевой и первой степени.
При n=2
при n=3
А = , где aij = aji называют матрицей квадратичной формы . Матрица А симметрическая, собственные значения её- действительные числа.
Пусть нормированные собственные векторы в ортонормированном базисе е1, е2,е3. Векторы также образуют ортонормированный базис. - матрица перехода о т базиса е1,е2,е3 к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису примут вид:
Переходя к новым координатам получаем квадратичную форму не содержащую членов с произведениями переменных. Квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. (Предполагалось, что среди собственных чисел матрицы А нет кратных. В случае, если они есть, задача решается немного сложнее).
Пример: Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2+12ху+8у2=80. В левой части - квадратичная форма с матрицей . Найдём собственные значения: Матрица преобразования принимает вид квадратичная форма преобразуется к канонической, а уравнение линии к виду или - (каноническое уравнение эллипса).
Контрольные вопросы.
1) Что называют квадратичной формой? 2) Что называют матрицей квадратичной формы?
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 733;