Основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ + u₂ + … + u_n) = lim u₁+ lim u₂+ … + lim u_n

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ × u₂ × … × u_n) = lim u₁ × lim u₂ × … × lim u_n

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V¹ 0.

3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u£ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х® а (или х® ¥) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х® а (или х® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых хи sin x: sin x ~x.

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log_ex. Функцию у = е^х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:

Непрерывность функций.Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х₀ получит приращение Dх и примет значение х = х₀ + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х₀ + Dх) – f(х₀).

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

.

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b₁, b₂ и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b₁ ¹ b₂ (скачок равен b₂ - b₁) и точки устранимого разрыва, когда b₁ = b₂. Точки разрыва , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х₁ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₁)³ f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₂) ≤ f(x).

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b!)

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) =m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Контрольные вопросы.

1) Что называется пределом переменной, пределом функции?

2) Что называется бесконечно малой функцией?

3) Поясните графически первый замечательный предел?

4) Какая функция называется непрерывной в точке?

5) Какая точка называется точкой разрыва I рода, II рода (в чём отличие)?

6) Что является наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке?

Тест 15.

1) Найти предел функции при х, стремящемся к нулю справа?

а) 0;

б) ;

в) ;

г) не существует.

2) Пользуясь основными теоремами о пределах найти: :

а) –2;

б) 0;

в) ;

г) .