Основные теоремы о пределах.
1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.
lim (u1 + u2 + … + un) = lim u1+ lim u2+ … + lim un
2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.
lim (u1 × u2 × … × un) = lim u1 × lim u2 × … × lim un
3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V¹ 0.
3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u£ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х® а (или х® ¥) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х® а (или х® ¥) стремится к тому же пределу.
Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (2.1)
Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых хи sin x: sin x ~x.
y |
y = sin x |
x |
y = x |
Рис. 2.3 |
Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (2.2)
Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = logex. Функцию у = ех называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:
Непрерывность функций.Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:
1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;
2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х0 получит приращение Dх и примет значение х = х0 + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х0 + Dх) – f(х0).
Функцию f(х) называют непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
(2.3) или (2.3`)
Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .
Пример:
В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:
.
Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b1, b2 и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b1 ¹ b2 (скачок равен b2 - b1) и точки устранимого разрыва, когда b1 = b2. Точки разрыва , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).
Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).
1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x1)³ f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x2) ≤ f(x).
Рис.2.4 |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
x |
a |
m |
M |
в |
Рис. 2.4 |
(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b!)
у |
у2 |
а |
в |
х |
у1 |
Рис. 2.5 |
х |
3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) =m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).
Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.
Контрольные вопросы.
1) Что называется пределом переменной, пределом функции?
2) Что называется бесконечно малой функцией?
3) Поясните графически первый замечательный предел?
4) Какая функция называется непрерывной в точке?
5) Какая точка называется точкой разрыва I рода, II рода (в чём отличие)?
6) Что является наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке?
Тест 15.
1) Найти предел функции при х, стремящемся к нулю справа?
а) 0;
б) ;
в) ;
г) не существует.
2) Пользуясь основными теоремами о пределах найти: :
а) –2;
б) 0;
в) ;
г) .
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 1411;