Аксиомы, законы, тождества и теоремы алгебры логики. В алгебре логики любая переменная может иметь состояние «О» или «1»

В алгебре логики любая переменная может иметь состояние «О» или «1». Поэтому в алгебре логики каждой двоичной переменной, на­пример х, ставится в соответствие обратная или дополнительная к ней (инверсная) переменная, такая, что:

если х = 0, то `x = 1, если х = 1, то `х = 0.

Переменную `х следует читать как НЕ х.

В алгебре логики в случае одной переменной х действуют следую­щие правила (аксиомы):

1) x + 0 = х, 6) х • 0 = О,

2) х+ 1 = 1, 7) х • 1 =х,

3) х + х = х, 8) х • х = х, (3.55)

4) х +` х = 1, 9) х •`х = 0, __

5) (`х) = `х, 10) ` ( х)=`х.

Правила 1—4 характеризуют операцию логического сло­жения (дизъюнкции), правила 6—9 — операцию логи­ческого умножения (конъюнкции) и правила 5,10 — операцию инверсии. Знак логического сложения «+» чи­тается ИЛИ (например, правило 1 : «х или 0 равен x»). Знак логичес­кого умножения «•» читается И (например, «x и 0 равен 0»).

Правила 1—4, 6—9 поясняются схемами (рис. 3.19, а — з) на двух ключах в соответствии с числом слагаемых (сомножителей) в соотно­шениях. Положению «Ключ включен» соответствует состояние «1», а положению «Ключ выключен» — состояние «О». Для логического сложения (правила 1—4) ключи в схемах соединены параллельно. Уровень высокого напряжения на выходе (F = 1) будет иметь место, если хотя бы один ключ находится в состоянии «1» (правила 2, 4; рис. 3.19, б, г). Результат суммы в правилах 1, 3 зависит от значения х

(при х = 1 F = 1, при х = 0 F = 0; рис. 3.19, а, в). Для логического умножения ключи соединены последовательно (рис. 3.19, д — з). Уровень высокого напряжения на выходе (F = 1) будет только в том случае, если оба сомножителя равны единице (оба ключа включены). В противном случае результат умножения равен нулю (правила 6, 9; рис. 3.19, д, з). Результат умножения в правилах 7, 8 зависит от значения х (рис. 3.19, е,ж).

Рис. 3.19. Схемы, иллюстрирующие операции логического сложения (а — г)

и логического умножения (д — з)

Для алгебры логики, как и для обычной алгебры, действительны следующие законы.

Переместительный закон (закон коммутативности) для логического сложения и умножения:

1 ) x + y = y + x (3.56)

2) х • у = у • х.

Сочетательный закон (закон ассоциативности) для логического сложения и умножения:

1) x+ у+г=(х + у)+г = х+(у + г),

2) х • у • z = (x • у) • г = х(у • г).

Распределительный закон (закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению):

х (у + z) = ху + хг. (3.58)

Для многих случаев алгебраических преобразований полезными являются тождества, относящиеся к двум и трем переменным:

1) ху + х`у = х, 4) х (`х + у) = xy

2) х + ху = х, 5) (х + у) (х + z) = х + уг,

3) х (х + у)=х, 6) х`у + у = х + у. (3.59)

В справедливости тождеств 1 и 2 нетрудно убедиться, вынося за скобку в левой части переменную х. Тождество 3 доказывается с по­мощью распределительного закона х(х + у) = хх + ху = х + ху =

= х. Аналогично доказывается и тождество 4. Для доказательства тождества 5 раскроем скобки в левой части: (х + у)(х + z) = х + + xz + ху + уг = х + ху + yz = х + yz.

К основным законам алгебры логики относятся законы инверсии для логических сложения и умно­жения (теоремы де Моргана):

(3.60)

(З.60а)

т. е. инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий;

т. е. инверсия произведения переменных есть сумма их инверсий.

Справедливость соотношений (3.60) и (З.60а) для двух переменных подтверждает табл. 3.1.

Таблица 3.1

(3.61)

В общем случае теоремы де Моргана могут быть представлены в виде, предложенном Шенноном:

Теорема в таком виде утверждает, что инверсия любой функции получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов сложения и умножения. При практиче­ском применении теоремы необходимо строго соблюдать группировки членов, выраженные как явными, так и неявными скобками. В каче­стве примера определим инверсию функции
F = х`у + x`y. По прави­лу (3.61) находим

Понятия инверсии и инверсного преобразования играют важную роль при синтезе схем. Использование инверсии на определенном эта­пе синтеза, в частности, приводит иногда к существенному упрощению функции, а следовательно, и средств ее реализации.

Логические функции

Логическая функция может быть записана аналитически различ­ными сочетаниями операций сложения и умножения переменных. Однако с точки зрения представления логической функции и после-

дующего синтеза логической схемы наиболее удобны формы записи, при которых функция выражается либо в виде суммы произ­ведений переменных, либо в виде произведения их сумм.

Запись логической функции в виде суммы произведений перемен­ных называют дизъюнктивной нормальной ф о р м о й (ДНФ):

а запись функции в виде произведения сумм — конъюнктив­ной нормальной формой (КНФ):

Инверсия любой функции, записанной в дизъюнктивной (конъюн­ктивной) нормальной форме, по правилу (3.61) дает замену записи на конъюнктивную (дизъюнктивную) нормальную форму. Например, инверсия функции

имеет вид

Логическую функцию, заданную любым аналитическим выраже­нием, можно преобразовать к ДНФ или КНФ, пользуясь правилами алгебры логики. Для каждой логической функции может существо­вать несколько равносильных дизъюнктивных и конъюнктивных форм.

Вместе с тем имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом (совершен­ные нормальные форм ы). В совершенной ди­зъюнктивной нормальной форме (СДНФ) каж­дое входящее слагаемое включает все переменные .(с инверсиями и без них) и нет одинаковых слагаемых. В совершенной конъ­юнктивной нормальной форме (СКНФ) каждый вхо­дящий сомножитель включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых сомножителей.

Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется так называемой таблицей соответствия или истин­ности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. Таким образом, таблица истинности определяет алгоритм работы создаваемой цифровой схемы. От таблич­ного представления функции переходят к аналитической записи ее в СДНФ или СКНФ.

Пусть в качестве примера функция F задана в виде табл. 3.2. Для комбинаций переменных 2, 7, 8 функция F истинна (т. е. F = 1), что означает для указанных комбинаций равенство единице следующих произведений: `x`y z = 1, х у`z = 1 и хуz = 1. Комбинации переменных,

Таблица 3.2

при которых функция истинна, называют конституентами единицы или минтермами. Представление логической функции в виде суммы минтермов определяет ее СДНФ, т. е. в данном случае

(3.62)

(3.63)

Функция, определяемая таблицей истинности, может быть пред­ставлена не только ее единичными, но и нулевыми значениями. Так, на основании табл. 3.2 рассматриваемая функция ложна (F = 0 или `F = 1), если истинно каждое из произведений

(3.64)

Воспользовавшись законом инверсии, приходим к записи функции в СКНФ:

Каждый сомножитель в соотношении (3.64) состоит из суммы пере­менных, для которых функция обращается в нуль в соответствии с таблицей истинности. Такие суммы называют конституента­м и нуля или макстермами. Таким образом, произведение макстермов определяет СКНФ функции.