В установившемся режиме

Случайными (стохастическими) процессами являются внешние помехи, флуктуационные шумы на выходе дискриминатора и других устройств РАС, внутренние возмущения в РАС: нестабильность частоты ПГ, нестабильность устройств регулируемой временной задержки и др.

Исследование РАС при случайных воздействиях в принципе можно проводить обычными методами, определяя параметры качества РАС при самых неблагоприятных (максимальных) значениях возмущения (наихудший случай).

Однако, поскольку максимальное значение случайной величины маловероятно и будет наблюдаться редко, к РАС будут предъявляться заведомо жесткие требования. Более рациональные решения можно получить, рассматривая наиболее вероятное значение случайной величины.

Закон распределения флуктуационных составляющих в линейных РАС можно считать нормальным (Гауссовским). Нормальный закон распределения характерен для внутренних возмущений. При прохождении случайного процесса через линейную систему, нормальный закон распределения остается неизменным. Если на входе РАС или в любой другой точке (например, на выходе дискриминатора) присутствует возмущение с законом распределения, отличным от нормального, и обладающее широким спектром S(ω), это возмущение эффективно нормализуется узкополосными элементами фильтра РАС.

Случайный процесс с нормальным законом распределения полностью определяется математическим ожиданием m(t) и корреляционной функцией R(τ).

Математическое ожидание (матожидание) случайного процесса x(t) представляет собой некоторую регулярную функцию m_x(t), около которой группируются все реализации данного процесса ( –плотность вероятности) [10].

Его называют также средним значением по множеству (ансамблю).

m_x(t) = М{x(t)} = . (6.1)

Случайный процесс (t) без регулярной составляющей m_x(t) называется центрированным .

Для учета степени разбросанности [10] случайного процесса относительно его среднего значения m_x(t) вводят понятие дисперсии:

D_x(t) = М{( (t))²} = . (6.2)

Среднее значение квадрата случайного процесса связано с его матожиданием m_x(t) и дисперсией D_x(t) следующим образом: .

На практике удобно оценивать случайный процесс статистическими характеристиками х_скв(t) и s_x(t), имеющими ту же размерность, что и сам процесс.

Среднеквадратичное значение х_скв(t) случайного процесса :

. (6.3)

Среднеквадратичное отклонение х_скв(t) случайного процесса :

. (6.4)

Матожидание и дисперсия не дают достаточного представления о характере отдельных реализаций случайного процесса. Для того, чтобы учесть степень изменчивости процесса или связь между его значениями в различные моменты времени, вводится понятие корреляционной (автокорреляционной) функции.

Корреляционная функция центрированного процесса (t) равна

, (6.5)

где – двумерная плотность вероятности.

Корреляционная функция является четной: R(τ) = R(–τ).

Если функции распределения и плотности вероятности процесса не зависят от сдвига по времени на одинаковую величину всех временных аргументов, такой случайный процесс называют стационарным.

Если у стационарного процесса совпадают значения среднего по множеству и среднего по времени, такой случайный процесс называют эргодическим.

Зная R(τ) можно определить дисперсию стационарного процесса:

. (6.6)

Спектральная плотность S_l_y(ω) выходного процесса y(t) в линейной системе и спектральная плотность S_l(ω) входного воздействия связаны соотношением:

. (6.7)

Корреляционная функция R(τ) стационарного случайного процесса и его спектральная плотность S(ω) связаны преобразованием Фурье, поэтому часто анализ проводят в частотной области. Выполнив преобразование Фурье для (6.7), получаем выражение для корреляционной функции выходного процесса R_y(τ):

. (6.8)

Спектральные плотности S_l_y(ω) и S_l(ω)являются двусторонними.

Можно ввести одностороннюю спектральную плотность N(f), которая определяется только для положительных частот ( ).

С учетом четности R(τ) и формулы Эйлера, (6.8) можно упростить:

. (6.9)

Качество работы РАС относительно случайных сигналов и помех характеризуется суммарной среднеквадратической ошибкой (СКО).

Рассмотрим обобщенную РАС, схема которой представлена на рис. 2.12.

Считаем воздействие λ(t) детерминированным, а возмущение ξ(t) на выходе дискриминатора – случайным процессом. С помощью формул (2.28)–(2.31) определим ПФ для ошибки при воздействии и возмущении.

. (6.10)

В общем случае между процессами воздействия и возмущения может существовать корреляция (связь). В этом случае кроме автокорреляционных функций вида (6.8) для каждого из процессов необходимо учитывать взаимные корреляционные функции процессов относительно друг друга. Через спектральные плотности по ошибке данные связи записывается следующим образом:

. (6.11)

После подстановки выражения (6.11) в формулу (6.8) получим соответствующие составляющие дисперсии:

. (6.12)

Если корреляция между процессами отсутствует, то S_l_x(ω) = S_x_l(ω) = 0, а также D_l_x = D_x_l = 0, и формула (6.12) упрощается

. (6.13)

Матожидание ошибки х(t) находится аналогично определению в установившемся режиме: .

Если спектральная плотность S_х(ω) описывается дробно-рациональной функцией относительно ω, то для вычисления D_x его представляют в виде:

. (6.14)

где – полином, содержащий четные степени iω до 2n-2 включительно; а – полином степени n, корни которого лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной ω.

Интегралы (6.14) можно вычислить по формуле (6.15) [10]:

, (6.15)

где D_n – старший определитель Гурвица вида (4.7), составленный из коэффициентов а_j, а Q_n – определитель вида D_n, в котором в первой строке коэффициенты а_j заменены на b_j.

Для интеграла (6.15) есть таблицы значений [1–5, 10] для n ≤ 7.

Значения при n ≤ 4 определяются по формулам:

, , ,

. (6.16)

Пример 6.1. Определим СКО системы ФАПЧ из примера 4.2.

Пусть на входе РАС действует сигнал λ(t) = 1+0,1t, а возмущение ξ(t) представляет собой белый шум с амплитудой N₀ = 1 мВ ( ).

Коэффициенты ошибок для данной РАС уже были найдены в примере 5.1.

Из формул (5.19)–(5.22) получаем .

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (2.30) после замены переменных р® iω получим (К₁= S_д, k₀= k₁S_д, k₁= k_фk_и):

, (6.17)

После подстановки формулы (6.17) в (6.13) (D_l=0) получим:

. (6.18)

Сравнивая (6.18) с выражением (6.14), находим порядок и коэффициенты полиномов (6.14): n=3, b₂=0, b₁=–(T₂)², b₀=1; a₃=T_фT_д, a₂=T_ф+T_д, a₁=1+k₀T₂, a₀=k₀.