Понятие эквивалентной шумовой полосы пропускания системы

Определение дисперсии и СКО рассмотренным выше методом при больших порядках интеграла (6.14) оказывается затруднительным. Поэтому был разработан графоаналитический метод [10], в основу которого положен геометрический смысл интеграла: значение интеграла равно площади, которая находится под графиком подынтегральной функции.

Для вычисления дисперсии по формуле (6.13) или (6.11)–(6.13) строят график подынтегральной функции + (в докомпьютерные времена эти построения выполняли по точкам, взятым на различных частотах ω_j [10]) и вычисляют площадь под ним (в докомпьютерные времена эти вычисления осуществляли с помощью аппроксимации графика и площади под ним прямоугольниками и трапециями [10] и т. п.).

С учетом четности подынтегральной функции достаточно построить график только для положительных частот (формула (6.9)).

. (6.24)

В настоящее время вычисления проще всего проводятся с помощью численного интегрирования в специальных математических программах.

Пример 6.3.Найдем дисперсию для РАС и возмущения, рассмотренных в примере 6.1. После подстановки ЧПФ (6.17) и S(ω) формула (6.18) имеет вид:

. (6.25)

После подстановки численных значений строим график подынтегральной функции (рис. 6.1) и вычисляем площадь (это удобно сделать с помощью разбиения на 1 прямоугольник и 3 треугольника, как показано на рис. 6.1). После вычисления площадей получаем S_экв ≈ 3,4×10^–3, подставляя в (6.24) вычисляем D_x ≈ 3,4×10^–3/p ≈ 1,08×10^–3.

С помощью численного интегрирования в MathCad, можно вычислить площадь и дисперсию (6.20) напрямую: S_экв = 3,32×10^–3, тогда D_x = 3,32×10^–3/p = 1,06×10^–3, что совпадает с полученным ранее значением.

Пример 6.4.Найдем дисперсию для РАС и возмущения, рассмотренных в примере 6.2. После подстановки численных значений в ЧПФ (формула (6.21)) и S(ω), а затем в формулу (6.18) строим график подынтегральной функции (рис. 6.2) и вычисляем площадь (это удобно сделать с помощью разбиения на 1 трапецию и 1 треугольник.

После вычислений получаем

S_экв ≈ 1,3×10^–3, D_x ≈ 1,3/p ≈ 4,1×10^–4.

При численном интегрировании в MathCad дисперсия D_x = 4,2×10^–4.

Если на РАС действует широкополосная помеха с равномерным спектром, ее можно считать белым шумом. В этом случае вводят понятие эквивалентной шумовой полосы (рис. 6.2), под которой понимается величина, равная полосе пропускания эквивалентной РАС с прямоугольной АЧХ, с одинаковой с исходной системой ЧПФ на нулевой частоте (рис. 6.2) и одинаковой дисперсией выходного процесса при действии на входах этих систем белого шума.

Из приведенного определения и выражения (6.13) вытекает (будем рассматривать только положительные частоты f или ω) формула:

. (6.26)

Для графика на рис. 6.1 эквивалентная шумовая полоса ω_эф образует прямоугольник по уровню ≈1×10^–5 и до частоты ω_экв ≈ 330 рад/с.

Для графика на рис. 6.2 эквивалентная шумовая полоса ω_эф образует прямоугольник по уровню ≈9×10^–6 и до частоты ω_экв ≈ 159 рад/с.

Если S(ω) случайного процесса отличается от константы, этот процесс можно свести к белому шуму, добавив в схему устройство, называемое формирующим фильтром [1, 4], на выходе которого будет процесс с той же S(ω).

В табл. 6.1 приведены некоторые формулы для определения f_эф по ПФ W(p).

Табл. 6.1

Пример 6.5.Найдем дисперсию при возмущении ξ(t) = N₀ для РАС, схема которой показана на рис. 5.1, при ПФ звеньев K₁=S_д – безынерционный дискриминатор, K₂=k₀(1+pT₂)/(p+p²T₁) – интегратор вместе с пропорционально-интегрирующим фильтром (ПИФ).

Для ПФ ошибки по возмущению из (2.30) после подстановки имеем:

. (6.27)

После замены переменных р® iω и подстановки в (6.14) получим:

, . (6.28)

Подставляя эти значения в (6.16) найдем дисперсию:

, (6.29)

где a=Т₂/Т₁ – отношение постоянных времени ПИФа.

С помощью понятия эквивалентной шумовой полосы можно было определить дисперсию по-другому. Для этого необходимо перенести пересчитать воздействие ко входу дискриминатора (ξ_д(t) = N₀/S_д²) и воспользоваться формулой (6.26) и табл. 6.1 при W(p)=K₁K₂=k₀S_д(1+pT₂)/(p+p²T₁):

. (6.30)

Рассмотрим некоторые соотношения параметров РАС и проанализируем их влияние на характеристики системы.

При Т₂=0, получается то же соотношение для f_эф, что и для фильтра системы, состоящему из одного интегратора (для D_x значение Т₁ не имеет значения!):

. (6.31)

Из формулы (6.31) видно, что РАС с одним интегратором в контуре управления по фильтрации шумов эквивалентна инерционному звену с постоянной времени Т₁ = 1/k₀S_д , на вход которого подан шум с S(ω)=N₀/S_д².

Если на входе такого фильтра действует шум с S(ω)=N₀, то .

В случае применения в системе ПИФ существует оптимальное значение параметров Т₂ и a, при которых дисперсия ошибки минимальна.

Пример 6.6.Определим дисперсию ошибки слежения в установившемся режиме в РАС из примера 6.5 при Т₂=Т₁=0, т. е. . Считаем, что ξ(t)=0, а воздействие λ(t) является стационарным случайным процессом со спектральной плотностью и дисперсией D_W. Такой процесс характерен для входного сигнала РАС при слежении радиолокационной системы за движущимся с угловой скоростью W объектом. m=1/Т – среднее число перемен скорости за период времени, равный 1 секунде (или Т=1/m – среднее значение интервала времени, в течение которого W сохраняет постоянное значение) [1–5].

. (6.32)

С учетом (6.32) Для приведения интеграла к виду (6.14) преобразуем следующим образом:

. (6.33)

Из сравнения (6.33) с (6.14) вытекает, что в данной задаче n=2; b₁=–2μD_W, b₀=0; a₂=1, a₁=μ+k₀S_д, a₀=μk₀S_д. Подставляя эти значения в (6.16) получаем:

. (6.34)

В данном случае вычисление дисперсии через f_эф затруднительно из-за сложных преобразований S(ω) и отсутствия соответствующей W(p) в табл. 6.1.

Таким образом, дисперсия ошибки данной РАС зависит от дисперсии воздействия D_W, ширины спектра этого воздействия, характеризующейся параметром μ=1/Т, и коэффициента передачи по контуру управления k₀S_д.