Однофакторный дисперсионный анализ.

Однофакторный дисперсионный анализ применяется для сравнения количественного признака в нескольких группах. Разработан Р.Фишером.

Ограничения:

1) каждая выборка независима от остальных выборок;

2) каждая выборка случайным образом извлечена из исследуемой совокупности;

3) совокупность нормально распределена;

4) дисперсии всех выборок можно считать равными.

Данный критерий основан на том, что в случае справедливости нулевой гипотезы оценки дисперсии генеральной совокупности, вычисленные исходя из выборочных средних и вычисленные исходя из внутригрупповых дисперсий будут приближённо равны. В противном случае межгрупповые различия будут более значительны, чем внутригрупповые. Следовательно, экспериментальное значение критерия рассчитывается как отношение этих оценок:

Дисперсия, обусловленная межгрупповыми различиями

F = ----------------------------------------------------------------------------------------

Дисперсия, обусловленная внутригрупповыми различиями

Критическое значение будет показывать, до какой величины значение отношения дисперсий будет проявлением случайных межгрупповых различий при заданной вероятности ошибки.

Исходные данные для расчёта:

k – количество сравниваемых групп;

n_i – численность i-ой группы;

– среднее в i-ой группе;

s_i – среднее квадратическое отклонение в i-ой группе.

Порядок расчёта:

;

; ;

;

.

Полученное значение F_эксп сравнивают со значением критической точки F_кр (α; f_меж ; f_вну) распределения Фишера (см. приложение), где α– уровень значимости.

Критическое значение можно также определить в электронной таблице Microsoft Excel используя функцию FРАСПОБР(α, f_меж , f_вну).

Если F_эксп < F_кр, то нулевую гипотезу с принятой вероятностью считают согласующейся с результатами наблюдений (различия в выборочных средних считаются незначительными).

Если F_эксп > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей, и различия в выборочных средних считают проявлением различия генеральных средних.

Пример: при изучении адаптации студентов к учебной деятельности за один день до экзамена проводился ряд психофизиологических тестов, в частности теппинг-тест, в котором в течение минуты нужно как можно быстрее нажимать на клавишу. По этому тесту оценивали силу нервной системы испытуемого, основным показателем его являлось среднее время нажатия. В зависимости от результатов экзамена студенты были разделены на следующие группы (M±m = ):

Проверить гипотезу о равенстве среднего времени нажатия в группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке.

Итак, в нашем случае:

k = 4;

n₁ = 49; n₂ = 72; n₃ = 93; n₄ = 62; N = 49 + 72 + 93 + 62 = 276;

; ; ; ;

; ;

; .

;

;

F_кр (0,05; 272; 3) = 2,64

Экспериментальное значение критерия Фишера больше критического (3,4>2,64), таким образом, при вероятности ошибки меньше 0,05 нулевую гипотезу о равенстве среднего времени нажатия в сравниваемых группах можно отвергнуть, т.е. среднее время нажатия достоверно отличается у студентов, получивших разную оценку на экзамене.