Двухфакторный дисперсионный анализ

Данный вариант дисперсионного анализа применяется тогда, когда изучается влияние двух факторов на исследуемый признак. Например, как влияют возраст и пол на осознание собственный страхов у детей. При этом можно выявить влияние отдельных факторов на исследуемый признак, а также влияние взаимодействия этих факторов. В результате вычисления данного варианта критерия получаются три эмпирических значения и, следовательно, три вывода.

Ограничения:

1) у каждого фактора должно быть не менее двух градаций;

2) в каждой ячейке комплекса не менее двух наблюдений;

3) в ячейках комплекса должно быть одинаковое количество значений;

4) комплекс должен представлять собой симметричную систему, т.е. каждой градации фактора А должно соответствовать одинаковое количество градаций фактора В;

5) исследуемый признак должен быть нормально распределен;

6) факторы должны быть независимыми.

Вычисления:

a – количество градаций фактора А;

b – количество градаций фактора В;

n – количество испытуемых в одной ячейке;

N=a×b×n – общее количество индивидуальных значений;

Т_аi – суммы индивидуальных значений по градациями фактора А;

åT_ai² - сумма квадратов суммарных значений по градациям фактора А;

Т_bi – суммы индивидуальных значений по градациям фактора В;

åT_bi² - сумма квадратов суммарных значений по градациям фактора В;

Т_аb – суммы индивидуальных значений по ячейкам;

åT_ab² - сумма квадратов суммарных значений по ячейкам;

- отношение квадрата общей суммы индивидуальных значений к общему количеству индивидуальных значений;

å(х_i²) – сумма квадратов индивидуальных значений;

-вариативность признака, обусловленная действием фактора А;

-вариативность признака, обусловленная действием фактора В;

- вариативность признака, обусловленная взаимодействием факторов А и В;

- общая вариативность признака;

- вариативность, обусловленная неучтенными факторами (случайная вариативность);

df_a=а-1 – число степеней свободы фактора А;

df_b=b-1 – число степеней свободы фактора В;

df_ab= df_a ×df_b – число степеней свободы взаимодействия факторов А и В;

df_общ=N -1 – число степеней свободы общее;

df_сл= df_общ - df_a – df_b - df_ab – число степеней свободы случайное;

- математическое ожидание суммы квадратов для фактора А;

- математическое ожидание суммы квадратов для фактора В;

- математическое ожидание суммы квадратов для взаимодействия факторов А и В;

- случайное математическое ожидание суммы квадратов;

- эмпирическое значение критерия для факт. А;

- эмпирическое значение критерия для факт. В;

- эмпирическое значение критерия для взаимодействия факторов А и В

Сопоставим эмпирические значения с критическими для фактора А: df₁=df_a, для фактора В: df₁=df_b, для взаимодействия факторов А и В: df₁=df_ab, и для df₂=df_сл по таблице 13 приложения 2.

Если F_эмп³F_0,01, то влияние фактора (или взаимодействия факторов) на признак значимо, если F_эмп <F_0,05, то влияние фактора на признак не значимо, если F_0,05 £ F_эмп < F_0,01, то влияние фактора на признак достоверно лишь на 5% уровне значимости.

Пример. С детьми 4-5, 5-6, 6-7 лет проводилось исследование на выявление умения классифицировать геометрические предметы по форме, цвету и размеру. Предлагался набор из 24 геометрических фигур, которые нужно было разложить на 4 части (по форме: круги, квадраты, треугольники, ромбы); далее на 3 части (по цвету: красные, синие, белые) и в заключение - на 2 части (по размеру: большие и маленькие). Если ребенок разложит правильно фигуры по форме, то ему присваивали 1 балл, если по цвету, то – 2 балла, если по размеру, то – 3 балла. Ребенок максимально может набрать 6 баллов. Детей каждого возраста разбили на 2 группы: контрольную и экспериментальную. В экспериментальной группе провели формирующие игры, направленные на развитие умения классифицировать геометрические предметы. Далее был проведен контрольный срез с другим подобным набором геометрических фигур. Результаты представлены в таблице 74. Влияет ли возраст и специально организованное обучение на формирование умения классифицировать геометрические предметы? Можно ли утверждать, что чем раньше начинается обучение, тем оно эффективнее?

Таблица 74

Результаты контрольного эксперимента на определение умения классифицировать геометрические предметы в контрольной и экспериментальной группе

Решение: пусть фактор А будет – формирование при специальном обучение, тогда фактор В – возраст. Результативный признак умения классифицировать геометрические предметы.

Сформулируем экспериментальные гипотезы:

1) специальное организованное обучение эффективно влияет на уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы;

2) возраст влияет на уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы;

3) чем раньше начинается обучение умения классифицировать геометрические предметы, тем боле оно эффективно.

Вычислим значения критерия.

a=2; b=3; n=6; N=36;

Т_а1b1=10; Т_а1b2=11; Т_а1b3=14; Т_а2b1=27; Т_а2b2=27; Т_а2b3=28; åT_ab²=2659;

T_a1=35; T_a2=82; åT_a²=7949;

T_b1=37; T_b2=38; T_b3=42; åT_b²=4577;

const=380,25;

åx_i²=467;

SS_a=61,36; SS_b=1,17; SS_ab=0,39; SS_общ=86,75

SS_сл=23,83;

df_a=1; df_b=2; df_ab=2; df_общ=35; df_сл=30;

MS_a=61,36; MS_b=0,585; MS_ab=0,195; MS_сл=0,79;

F_a= 77,67 df₁=1, df₂=30 F_0,01=7,56; F_0,05=4,17

F_a >F_0,01Þ принимается первая экспериментальная гипотеза

F_b=1,48 df₁=2, df₂=30 F_0,01=5,39; F_0,05=3,32

F_a <F_0,05Þ отвергается вторая экспериментальная гипотеза

F_ab=0,25 df₁=2, df₂=30 F_0,01=5,39; F_0,05=3,32

F_a <F_0,05Þ отвергается третья экспериментальная гипотеза

Ответ: На уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы эффективно влияет специальное организованное обучение, незначительно влияет возраст. Не доказано, что чем раньше начинается обучение умения классифицировать геометрические предметы, тем боле оно эффективно.