Анализ интенсивностей дифракционных максимумов. Атомный фактор и структурная амплитуда

Согласно кинематической теории интенсивность рассеяния одним атомом характеризуют его атомным фактором. Атомным фактором f называется отношение амплитуды волны, рассеянной атомом, к амплитуде волны, рассеянной электроном

f = E_ат/E_эл . (2.38)

Поскольку интенсивность рассеянных лучей пропорциональна квадрату амплитуды (I~E²), то атомный фактор определяет интенсивность рассеяния атомом.

Рис. 2.15. К выводу формулы для структурной амплитуды.

Интенсивность лучей, рассеянных одним электроном в том или ином направлении, различна. Такое направленное рассеяние, или поляризация рассеянной волны, связана с направлением вынужденных колебаний электрона и определяется формулой Томпсона [2]:

× × , (2.39)

где R – расстояние от рассеивающего электрона; 2q – угол между направлением падающего пучка и пучка рассеяния; I и I₀ – интенсивность падающего и рассеянного пучков.

В атоме электроны не сосредоточены в одной точке, а распределены вокруг ядра в оболочке, размеры которой сравнимы с длиной волны. При расчете рассеивающей способности атома необходимо учесть интерференцию всех волн, рассеянных отдельными электронами. Если атом содержит Z электронов, мгновенное расположение которых в пространстве описывается радиусом-вектором r_i, то мгновенное значение амплитуды, рассеянной атомом, будет равно [2]:

E_ат = , (2.40)

где sr_i – учитывает разность фаз, возникающую между волнами, рассеянными

i-электроном и электроном в начале координат.

Зная распределение (плотность) электронного облака свободного атома, амплитуду рассеяния E_ат можно рассчитать теоретически. Она зависит от угла рассеяния и длины волны падающего излучения. В связи с этим величина атомного фактора f также будет зависеть от этих величин. Из опытных данных величину f можно получить, измеряя усредненные, например, по какому-то элементу объема, амплитуды рассеяния. Значения f_теор и f_эксп достаточно хорошо совпадают [2]. Для различных атомов они сведены в таблицы, дающие значения атомных факторов как функцию sinq/l.

В том случае, когда рассеяние рентгеновских лучей происходит в некотором объеме, то суммарная амплитуда луча дифракции будет зависеть от числа рассеивающих атомов, приходящихся на этот объем и их взаимного расположения, т.е. от числа атомов базиса и их координат.

Допустим, что в элементарной ячейке содержится 2 атома (рис.2.15). Начало координат поместим в один из них, другой имеет координаты x, y, z. Если S₀ иS единичные вектора на направлении падающего луча и луча рассеянного, то разность хода равна:

(R[S – S₀]) = d (2.41)

или разность фаз составит:

d = j (2.42)

Подставив значение d из (2.41) и (S– S₀) из общего интерференционного уравнения (2.28) получим:

j = 2p (HR) = 2p (Hx +Ky+Lz) (2.43)

Амплитуда рассеянной волны с такой разностью фаз запишется как:

F = f_o e^ij (2.44)

Если в элементарной ячейке не 2 атома, а j базисных атомов, то

F = e^ij (2.45)

Здесь f₀ примерно соответствует амплитуде рассеяния одним атомом базиса, или атомному фактору, поэтому для разных базисных атомов суммарная амплитуда рассеяния одной элементарной ячейкой равна

F= _j e^{2pi (Hx+Ky+Lz)} , (2.46)

где x, y, z – координаты атомов базиса; f_j – атомные факторы базисных атомов; H, K, L – индексы интерференции, определяющие, в частности, направление, в котором рассматривается рассеяние; j – число базисных атомов.

Величина F получила название структурной амплитуды. Структурная амплитуда показывает во сколько раз суммарная амплитуда лучей, рассеянных группой атомов базиса, больше амплитуды рассеяния одним электроном. Каждому отражению H, K, L соответствует своя структурная амплитуда. Величина, равная квадрату структурной амплитуды, называется структурным множителем.

Выражение для структурной амплитуды может быть записано и в другой форме. По формуле Эйлера e^ix = cos x + i sin x, поэтому можно записать:

F = _j cosj_j + i _j sinj_j , (2.47)

где j_j = 2p (Hx_j + Ky_j +Lz_j).