Общее интерференционное уравнение трехмерной решетки

Три уравнения Лауэ, определяющие направление интерференционных максимумов, можно свести к одному, общему интерференционному уравнению, которое записывается в векторной форме.

Рассмотрим так же, как и раньше, дифракцию рентгеновских лучей на атомном ряде. Разность хода двух соседних лучей после дифракции от атомного ряда равна a×cosa – a×cosa₀ (рис.2.7). Для того, чтобы учесть направление падающего и рассеянного луча в пространстве, введем единичные вектора S₀ и S. По абсолютной величине они равны 1, а по направлению S₀ – совпадает с направлением первичного пучка, а S – направлением дифрагированных лучей. Разность хода двух соседних лучей определим как a×cos a×1 – a×cos a₀×1 = (a[S – S₀]). Дифракционный максимум мы получим, когда на длине этого отрезка укладывается целое число длин волн, т.е.

(a[S – S₀]) = ml . (2.24 а)

Аналогичным образом можно преобразовать и другие уравнения Лауэ, записав их в векторной форме:

(b[S– S₀]) = nl , (c[S – S₀]) = pl . (2.24 б)

Разделив левую и правую части этих уравнений на l, получим:

(2.25)

Если в обратной решетке взять точку – узел с индексами m, n и p, то вектор H, проведенный в эту точку, запишется как

H = ma*+ nb* + pc* . (2.26)

Тогда, умножив скалярно левую и правую части этого выражения наa, а затем последовательно на b и с, будем иметь

(2.27)

Сопоставляя между собой систему уравнений (2.26) и (2.27), получим новое фундаментальное соотношение:

(S - S₀)/l =H (2.28)

которое полностью определяет направление дифракционных максимумов и содержит в себе все 3 уравнения Лауэ. Действительно, умножив левую и правую части уравнения (2.28) на вектор a,получим первое уравнение Лауэ и при умножении на вектора bи cсоответственно второе и третье уравнения Лауэ.

Графическое выражение интерференционного уравнения. Сфера отражения или сфера Эвальда. Общее интерференционное уравнение можно выразить графически, используя построение обратной решетки кристалла (рис. 2.10).

Рис.2.10. Сфера Эвальда.

Построим обратную решетку кристалла. Для этого, проведем из какой-либо точки O, связанной с кристаллом, оси обратной решетки (см. построение обратной решетки). Зная направление осей и величины единичных векторов, строим координатную сетку. Узлы ее будут одновременно узлами обратной решетки кристалла. Для простоты нарис.2.10 представлена двухмерная сетка. Допустим, что направление падающего пучка S₀. Выбираем луч, который проходит через начало координат. Отложим от начала координат (точки O) вектор –S₀/l, конец которого будет какой-то точкой A. По абсолютной величине этот вектор равен 1/l, т.к. |S₀|=1. Опишем из точки A сферу радиусом 1/l. По положению она жестко связана с направлением первичного пучка и всегда проходит через начало координат. Построенная сфера носит название сферы отражений или сферы Эвальда.

Замечательной особенностью этой сферы является то, что для любого узла обратной решетки, попавшего на ее поверхность, удовлетворяется общее интерференционное уравнение. Возьмем, например, узел M на сфере и рассмотрим векторный треугольник OAM. Согласно известным правилам сложения векторов сумма OA+AM= OM.Так как вектор OM является не чем иным, как вектором H, а OA = –S₀/l можно записать

AM – S₀/l = H(2.29)

Из сравнения этого выражения с уравнением (2.28) следует, что вектор AM, равный 1/l, по направлению должен совпасть с S. В результате получим соотношение, являющееся общим интерференционным уравнением трехмерной решетки:

S/l –S₀/l =H(2.30)

Любой узел на сфере удовлетворяет общему интерференционному уравнению. В этом первое замечательное свойство сферы отражения. Кроме того, точки пересечения сферы отражения с узлами обратной решетки определяют направление дифракционного луча. Последнее, очевидно, совпадает с направлением вектора S/l. Из сказанного следует, что при заданных параметрах элементарной ячейки кристаллаa, b, cи известной длине волны падающего пучка рентгеновских лучей l можно с помощью построения обратной решетки и сферы Эвальда установить направление всех интерференционных лучей в пространстве и, следовательно, установить вид рентгенограммы при том или ином положении рентгенопленки. Практически, однако, решают обратную задачу, рассчитывая по рентгенограмме, т.е. по положению интерференционных пятен, параметры ячейки кристалла a, b,c. Пользуясь сферой Эвальда, легко показать, как меняется дифракционная картина при повороте кристалла или изменении длины волны излучения. Действительно, диаметр сферы отражения равен 2/l. Поэтому при увеличении l размер сферы уменьшается. Если диаметр сферы станет меньше любого вектора H, то ни один узел обратной решетки не попадет на поверхность сферы, и дифракция станет невозможной. Таким образом, дифракция возможна (при l£ 2d), если

|H|< 2/l. (2.31)

Для изучения с l=2 Å, условие дифракции выражается |H|=1/d < 1 Å. Следовательно, при d > 1 Å для кристаллов с межплоскостным расстоянием меньше 1 Å, дифракции не будет.