Анализ влияния цен на объемы затрат и выпуска. Основное уравнение фирмы

Исследуем чувствительность оптимальных затрат и выпуска к изменениям параметров . Для этого сделаем дополнительное к условиям предыдущего параграфа предположение: функции и дифференцируемы по всем переменным.

Подставляя в систему (3.6.1) функции спроса (3.6.2) и присоединяя к ней выражение для функции предложения (3.6.3) , получим замкнутую тождественную систему из уравнения на параметров:

(3.7.1)

Так как чувствительность оптимальных затрат и выпуска по ценам оценивается величинами

то систему (3.7.1) будем дифференцировать по переменным . Первые частных производных характеризуют изменение оптимального объема затрат при изменении цены готовой продукции и цен ресурсов; вторая группа частных производных показывает реакцию объема оптимального выпуска на колебание тех же цен. Обозначим:

Будем считать выполненными условия (3.2.2)-(3.2.3), т.е. анализ чувствительности затрат и выпуска проведем в пределах особой области, изображенной на рисунке 3.4.

Продифференцируем сначала обе части системы (3.7.1) по :

Применяя обозначение матрицы Гессе

перепишем эту систему в векторной форме:

(3.7.2)

Продифференцируем теперь систему (3.7.1) по :

где - символ Кронекера. Используя обозначение единичной матрицы

перепишем эту систему в векторной форме:

(3.7.3)

Запишем системы (3.7.2) и (3.7.3) в матричных формах:

(3.7.4)

(3.7.5)

где через обозначен m-мерный вектор-столбец с нулевыми элементами, - знак транспонирования.

Объединяя уравнения (3.7.4) и (3.7.5) в одно, получим основное матричное уравнение теории производства (фирмы):

. (3.7.6)

Это есть система из уравнений с неизвестными показателями сравнительной статики. Решая её относительно показателей сравнительной статики, находим:

.

Выполняя матричное умножение в последнем уравнении, находим решение. Запишем его в векторной форме:

(3.7.7)

(3.7.8)

(3.7.9)

(3.7.10)

где - обратная матрица Гессе.

Так же как и в теории потребления, при помощи показателей сравнительной статики можно классифицировать типы затрат.

Определение 3.4. Затраты (ресурсы) вида k называются нормальными, если ; ценными (малоценными), если . Два вида затрат i и k называются взаимозаменяемыми (взаимодополняемыми), если

Неравенство означает возрастание затрат k-го вида с ростом их цены. Такие затраты исключены, так как напрямую уменьшают прибыль фирмы (см. целевые функции задач (3.5.1) - (3.5.3)). Поэтому кривая спроса на затраты всегда является убывающей и, в отличие от теории потребления, здесь нет товаров Гиффина.

Некоторые выводы относительно чувствительности затрат и выпуска по ценам, к которым можно прийти, анализируя соотношения (3.7.7)-(3.7.10), следующие:

1. повышение цены на выпускаемый продукт всегда приводит к увеличению объема выпуска;

2. повышение цены на выпускаемый продукт влечет повышение спроса на некоторые виды затрат;

3. в рамках закона об убывающей доходности нельзя обходиться исключительно малоценными затратами;

4. повышение платы за малоценные ресурсы ведет к увеличению объема выпуска;

5. повышение платы за некоторый вид затрат приводит к увеличению объема выпуска;

6. повышение цен на затраты приводит к сокращению спроса на них;

7. чувствительность объема затрат k-го вида на изменение цен затрат i-го вида такая же, что и чувствительность объема затрат i-го вида на изменение цен затрат k-го вида;

8. для взаимозаменяемых затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет увеличение (уменьшение) спроса на другую;

9. для взаимодополняющих друг друга затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет уменьшение (увеличение) спроса на другую.

Проведём краткое обоснование этих утверждений.

Первый вывод следует из неравенства

, (3.7.11)

которое вытекает из (3.7.7) с учетом отрицательной определенности обратной матрицы Гессе и неотрицательности предельного продукта в особой области. Данное неравенство подтверждает факт о том, что кривая предложения продукта является возрастающей.

Неравенство (3.7.11) с учетом (3.7.1) запишется в виде

(3.7.12)

Такое соотношение возможно только в том случае, если для некоторых k будет выполнятся неравенство

(3.7.13)

которое и является обоснованием второго вывода. Сравнивая (3.7.8) и (3.7.9) , можно заметить, что

(3.7.14)

Поэтому вывод 2. можно уточнить следующим образом: повышение цены выпускаемой продукции приводит к повышению спроса на затраты k-го вида всегда, если и только если увеличение платы за этот вид затрат приводит к сокращению объема выпуска. Действительно, с учетом (3.7.14) неравенство (3.7.13) влечет неравенство . В частности, если - малоценные затраты (т.е. ), то увеличение цены приведет к увеличению выпуска (т.е. ), о чем и утверждает вывод 4.

Обоснованность вывода 3. следует также из неравенства (3.7.14) .

Из соотношений (3.7.11) , (3.7.12) и (3.7.14) получаем:

Поэтому в особой области для некоторых видов затрат выполнено неравенство

Оно доказывает справедливость вывода 5.

Соотношение (3.7.10) указывает на симметричность матрицы , причем, как и правая часть этого уравнения, она отрицательно определена. Поэтому ее диагональные элементы отрицательны:

Отсюда следует вывод 6. Симметричность матрицы означает, что

Содержательный смысл этого равенства приведен в выводе 7.

Выводы 8. и 9. вытекают непосредственно из определений взаимозаменяемых и взаимодополняемых затрат.