Модель линейной регрессии

Изучение зависимостей экономических показателей начнем со случая двух переменных X и Y: Y=f(X). Этот метод наиболее прост и может быть представлен графически.

Для начала нужно установить, связаны ли эти переменные между собой, и, если да, то определить формулу связи. Для анализа данные представляют в виде таблицы:

X Y
x1 y1
x2 y2
... ...
xn yn

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания).

yi
xi
y
x
Рис. 1
Корреляционным полем (диаграммой рассеивания) будем называть систему точек (xi, yi), (i=1,…,n), изображенную на координатной плоскости XOY:

 

 

Точка с координатами называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля можно предположить, является ли зависимость между y и x линейной или нелинейной.

Значения (большие или малые) еще не дают характеристику того, если связь между х и у.

На рис.2 , рис.3 и рис.4 показана ситуация, когда малы, но в одном случае (рис.2) зависимости y=f(x) – нет. В другом случае зависимость есть и она линейная. В третьем случае есть явно нелинейная зависимость.

 

x
y
Рис. 3
x
y
Рис. 2
x
y
Рис. 4

Поэтому вводится еще одна статистика коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции является показателем плотности линейной взаимосвязи.

Свойства коэффициента корреляции:

1) –1 £ rxy £ 1;

2) если rxy >0, то зависимость между фактором х и y прямая: с ростом х показатель y также возрастает. Если rxy <0, то зависимость между фактором х и y обратная - с ростом х показатель y уменьшается

3) Если связь между х и у – строго линейная. Если , либо связи нет, либо связь резко нелинейная.

4) Коэффициент корреляции величина симметричная - rxy= ryx

5) Корреляция фактора самого с собой равна 1: rxx=1

Существует следующая градация тесноты линейной связи между Х и У в зависимости от величины коэффициента корреляции.

Если то линейная связь между Х и У тесная.

Если то линейная связь между Х и У достаточная.

Если то линейная связь между Х и У слабая.

Если то линейной связи между Х и У нет.

 

Подбор параметров прямой регрессии по методу наименьших квадратов (МНК)

Парной (однофакторной) линейной регрессией называется линейная зависимость между зависимым показателем Y и независимым фактором Х.

Пытаемся описать связь между х и у зависимостью (1).

В силу случайных влияний показатель yi является случайным и может быть выражен формулой

yi=b0+b1xi+ei i=1..n (2)

ei – случайное отклонение.

Отклонение (ошибка) исходных данных yi от модельных данных =y(xi) вычисляется по формуле . Обозначим

yi
xi
y
x
   

 

y=b0+b1x
ei

Суть МНК состоит в том, чтобы минимизировать отклонения ei в совокупности путем правильного подбора коэффициентов b0 , b1.

Т.к. отклонение может иметь случайный знак (+ или -), то рассматривают квадраты отклонений. Минимизируют сумму квадратов отклонений

.

Сумма S является функцией двух неизвестных параметров b0 , b1. Необходимое условие минимума функции S - равенство нулю производных по b0 и b1.

Получили систему двух линейных уравнений от двух неизвестных. Такая система имеет единственное решение.

Выразив коэффициенты b0 и b1, и, сделав арифметические преобразования, получим выражения для определения этих коэффициентов:








Дата добавления: 2016-01-20; просмотров: 903;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.