Определение интеграла от функции комплексного переменного

Пусть на комплексной плоскости задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , вдоль которой определена функция .

Замечание. Дуга называется гладкой, если она может быть задана непрерывно-дифференцируемой функцией. Кривая, состоящая из конечного числа гладких дуг, называется кусочно – гладкой.

Разобьем эту кривую на частей точками , пронумерованными в направлении от - начальной точки кривой , до - конечной точки . Обозначим через ( ). В каждой части выберем произвольно точку ( ) и составим сумму:

которую назовем интегральной суммой.

Устремим в бесконечность так, чтобы .

Определение. Если существует предел интегральной суммы при условии произвольного способа разбиения кривой на части, произвольного выбора точек ( ) и при условии , то этот предел называется интегралом от функции по дуге (контуру) и обозначается:

Из определения интеграла следует, что его значения зависят не только от функции , но и от пути интегрирования Г. Если кривая замкнутая (точки и совпадают), то интеграл обозначают символом: .

Если функция непрерывна вдоль кривой , то интеграл существует.

Пусть и ,

тогда

Таким образом, интеграл от функции комплексного переменного равен сумме двух криволинейных интегралов 2-го рода от вещественных функций:

Если кривая задана параметрическим уравнением:

(или ), тогда:

Замечание. Довольно часто в качестве параметра выбирают угол: .

Поскольку интеграл от функции комплексного переменного сводится к криволинейным интегралам второго рода от действительных функций, то его свойства будут аналогичны известным свойствам криволинейных интегралов:

· ,

где и - один и тот же контур, проходимый в положительном и отрицательном направлениях (в качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимается направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения).