Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
Мы уже отмечали, что условия, при выполнении которых функция является аналитической, достаточно жесткие. Это и обуславливает справедливость следующей теоремы.
Теорема 2 (Теорема Коши).Если - односвязная область комплексной плоскости и
- однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой кривой
, лежащей в области
, интеграл от
вдоль
равен нулю:
.
Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной области.
Из теоремы 2 вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых и
с общим началом
и концом
имеют равные значения.
В самом деле, кривая является замкнутой, и, следовательно,
откуда
Это означает, что интеграл от функции , аналитической в односвязной области
, не зависит от кривой
(от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой
, соединяющей точки
и
, можно пользоваться обозначением
.
Рассмотрим интеграл от аналитической функции, если конечная точка – переменная, т.е. есть некоторая функция от верхнего предела:
Можно показать, что - аналитическая функция, и что ее производная равна
. Таким образом, интеграл
является первообразной для подынтегральной функции (определение первообразной аналитической функции аналогично определению первообразной функции действительной переменной).
И это позволяет сделать вывод о справедливости формулы Ньютона-Лейбница:
,
здесь - одна из первообразных функции
, (
).
Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции к отысканию какой-либо первообразной функции и, следовательно, использовать известные формулы и методы интегрирования функций действительной переменной. В частности, если
и
аналитические функции, то будет справедлива формула интегрирования по частям:
.
Пример. Вычислить интеграл
Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
Пример.Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому воспользуемся формулой интегрирования по частям:
=
=
=
Аналитические функции комплексного переменного обладают следующим замечательным свойством:
Теорема 3. (Интегральная формула Коши)Если - внутренняя точка односвязной области
, ограниченной замкнутым контуром
,
- аналитическая в замкнутой области
функция, то справедлива формула:
Иными словами, если мы знаем значение аналитической функции на границе односвязной области, то мы можем найти значение этой функции в любой внутренней точке области.
Более того, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.Если однозначная функция комплексного переменного имеет всюду в области
первую производную, то она имеет в этой области и все производные высших порядков, которые могут быть найдены по формуле:
Интегральную формулу Коши и формулу для производных высших порядков можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию . Аналитичность этой функции нарушается в точках:
(точки, в которых знаменатель равен 0). Контур, по которому вычисляется интеграл:
, есть окружность с центром в точке
и радиусом 3. Внутри этого контура лежит точка
, поэтому внутри контура подынтегральная функция не является аналитической. Запишем эту функцию в виде:
. Тогда функция
является аналитической внутри замкнутого контура. Воспользуемся интегральной формулой Коши:
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках . Внутри контура есть только одна из них:
. Преобразуем подынтегральную функцию к виду:
.
Функция - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить теорему 4 (в данном случае
):
Теория рядов
2.1. Числовые ряды
Основные понятия
Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
Определение. Выражение называют числовым рядом, или просто рядом, а сами числа
- членами ряда.
Числовой ряд будем обозначать .
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n:
.
Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается
, т.е.
Рассмотрим частичные суммы:
,…,
Определение. Если последовательность имеет конечный предел:
, то говорят, что ряд
сходится. В этом случае, предел
называют суммой ряда и пишут:
.
Ряд расходится, если последовательность
не имеет предела или он равен
. Если
, то говорят, что сумма ряда равна
, и пишут:
.
Пример.Показать, что числовой ряд расходится.
Решение. Запишем n-ю частичную сумму ряда. Имеем
Тогда при имеем
. Следовательно, ряд расходится, и считается,что его сумма равна
.
Пример. Показать, что ряд сходится.
Решение. Частичные суммы ряда имеют вид: ,
, …,
. Вычислим сумму ряда:
, т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.
Пример.Исследовать на сходимость ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию: =
.
Решение.Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле . Найдем предел этой суммы:
.
В зависимости от величины q имеем:
1) если , то
при
. Поэтому
, ряд сходится, его сумма равна
;
2) если , то
при
. Поэтому
, ряд расходится;
3) если , то при
ряд принимает вид
,
для него и
, т.е. он расходится;
при ряд принимает вид
, в этом случае
при четном n и
при нечетном n. Следовательно,
не существует, ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится при и расходится при
. Такой ряд будем называть рядом геометрической прогрессии.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 8414;