Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций

Мы уже отмечали, что условия, при выполнении которых функция является аналитической, достаточно жесткие. Это и обуславливает справедливость следующей теоремы.

Теорема 2 (Теорема Коши).Если - односвязная область комплексной плоскости и - однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой кривой , лежащей в области , интеграл от вдоль равен нулю: .

Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной области.

Из теоремы 2 вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых и с общим началом и концом имеют равные значения.

В самом деле, кривая является замкнутой, и, следовательно,

откуда

Это означает, что интеграл от функции , аналитической в односвязной области , не зависит от кривой (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой , соединяющей точки и , можно пользоваться обозначением .

Рассмотрим интеграл от аналитической функции, если конечная точка – переменная, т.е. есть некоторая функция от верхнего предела:

Можно показать, что - аналитическая функция, и что ее производная равна . Таким образом, интеграл является первообразной для подынтегральной функции (определение первообразной аналитической функции аналогично определению первообразной функции действительной переменной).

И это позволяет сделать вывод о справедливости формулы Ньютона-Лейбница:

,

здесь - одна из первообразных функции , ( ).

Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции к отысканию какой-либо первообразной функции и, следовательно, использовать известные формулы и методы интегрирования функций действительной переменной. В частности, если и аналитические функции, то будет справедлива формула интегрирования по частям:

.

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому воспользуемся формулой интегрирования по частям:

= =

=

 

Аналитические функции комплексного переменного обладают следующим замечательным свойством:

Теорема 3. (Интегральная формула Коши)Если - внутренняя точка односвязной области , ограниченной замкнутым контуром , - аналитическая в замкнутой области функция, то справедлива формула:

Иными словами, если мы знаем значение аналитической функции на границе односвязной области, то мы можем найти значение этой функции в любой внутренней точке области.

Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.Если однозначная функция комплексного переменного имеет всюду в области первую производную, то она имеет в этой области и все производные высших порядков, которые могут быть найдены по формуле:

Интегральную формулу Коши и формулу для производных высших порядков можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию . Аналитичность этой функции нарушается в точках: (точки, в которых знаменатель равен 0). Контур, по которому вычисляется интеграл: , есть окружность с центром в точке и радиусом 3. Внутри этого контура лежит точка , поэтому внутри контура подынтегральная функция не является аналитической. Запишем эту функцию в виде: . Тогда функция является аналитической внутри замкнутого контура. Воспользуемся интегральной формулой Коши:

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках . Внутри контура есть только одна из них: . Преобразуем подынтегральную функцию к виду:

.

Функция - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить теорему 4 (в данном случае ):

 

Теория рядов

2.1. Числовые ряды

Основные понятия

Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)

Определение. Выражение называют числовым рядом, или просто рядом, а сами числа - членами ряда.

Числовой ряд будем обозначать .

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается , т.е.

Рассмотрим частичные суммы:

,…,

Определение. Если последовательность имеет конечный предел: , то говорят, что ряд сходится. В этом случае, предел называют суммой ряда и пишут: .

Ряд расходится, если последовательность не имеет предела или он равен . Если , то говорят, что сумма ряда равна , и пишут: .

Пример.Показать, что числовой ряд расходится.

Решение. Запишем n-ю частичную сумму ряда. Имеем

Тогда при имеем . Следовательно, ряд расходится, и считается,что его сумма равна .

Пример. Показать, что ряд сходится.

Решение. Частичные суммы ряда имеют вид: , , …, . Вычислим сумму ряда: , т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример.Исследовать на сходимость ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию: = .

Решение.Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле . Найдем предел этой суммы: .

В зависимости от величины q имеем:

1) если , то при . Поэтому , ряд сходится, его сумма равна ;

2) если , то при . Поэтому , ряд расходится;

3) если , то при ряд принимает вид ,

для него и , т.е. он расходится;

при ряд принимает вид , в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Такой ряд будем называть рядом геометрической прогрессии.








Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 8550;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.02 сек.