Свойства сходящихся рядов
Теорема 1. Если в ряде отбросить конечное число первых членов, то полученный ряд и ряд
сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 2. Если ряды и
сходятся и С – некоторое число, то ряды
и
также сходятся, при этом
,
.
Теорема 3. (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то
.
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или
не существует, то ряд
расходится.
Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.е. если
, то ряд может сходиться, а может и расходиться.
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение. Ряд расходится, т.к.
, т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.
Пример.Исследовать сходимость ряда
Решение.Данный ряд расходится, т.к. .
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение. =
, для него
, но этот ряд является расходящимся. Докажем это. Предположим, что ряд сходится и его сумма равна S, тогда имеем
. С другой стороны,
. Значит,
. Полученное противоречие, доказывает, что данный ряд не может сходиться. Данный ряд называется гармоническим.
Теорема 4 (Критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для
такой, что при
неравенство
выполнялось для любого конечного
.
Т. е. сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 736;