Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Определение.Вещественный ряд называют положительным, если
для
.
Пусть даны два положительных ряда и
.
Теорема 5 (Признак сравнения).Пусть, начиная с некоторого номера, . Тогда:
· из сходимости ряда следует сходимость ряда
;
· из расходимости ряда следует расходимость ряда
.
Теорема 6 (Предельный признак сравнения). Пусть существует предел
. Тогда:
· при ряды
и
сходятся или расходятся одновременно;
· при из сходимости ряда
следует сходимость ряда
.
· при из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Пример.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится (
). Имеем
. Следовательно, по теореме 5 данный ряд сходится.
Пример.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом:
, который расходится. Так как
, то по теореме 6 исходный ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Исследуем сходимость этого ряда с помощью предельного признака сравнения. Так как при
, (эти величины эквивалентны), то для сравнения берем ряд с общим членом
, т.е. ряд
(гармонический ряд). Имеем:
. Следовательно, по предельному признаку сравнения исходный ряд расходится.
Замечание.Применяя признаки сравнения, рекомендуется использовать ряды, сходимость которых заранее известна. Такими рядами, в частности, являются: ряд геометрической прогрессии, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд, сходимость которого будет исследована позже.
Теорема 7 (Признак Даламбера). Пусть - положительный ряд, и существует конечный или бесконечный предел
(
). Тогда, при
ряд
сходится, а при
- расходится.
Пример.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим ,
. Применяя признак Даламбера, получаем
. Следовательно, ряд сходится.
Пример.Исследовать на сходимость ряд ;
Решение. ,
. Тогда
=
. Ряд сходится.
Теорема 8 (Радикальный признак Коши).Пусть - положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел
. Тогда, при
ряд
сходится, а при
- расходится.
Пример.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применяя признак Коши, получим . Ряд сходится.
Пример.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применяя признак Коши для исследования сходимости ряда: , поэтому ряд сходится.
Замечание. Применяя признак Коши, полезно использовать пределы и формулу Стирлинга
, выражающую значение
через степенную функцию. Здесь знак
означает, что указанные бесконечно большие величины эквивалентны.
Замечание. При признаки Даламбера и Коши не дают ответ на вопрос о сходимости ряда. В этом случае необходимы дополнительные исследования. Иногда здесь помогают более сложные признаки (признаки Раабе, Гаусса и другие). Во многих случаях эффективен интегральный признак Коши.
Пусть числовой ряд имеет вид , т.е. каждый член ряда может быть записан как значение некоторой функции
при целочисленных значениях аргумента. Причем функция
непрерывна, положительна и монотонно убывает. Функция
будет монотонно возрастающей, т.к.
, т.е. при
будет иметь конечный либо бесконечный предел, а следовательно, и несобственный интеграл
будет либо сходящимся, либо расходящимся.
Теорема 9 (Интегральный признак Коши).Ряд и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле): , где
- действительное число,
Решение. Для исследования сходимости применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают). Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке
и
. При
имеем:
.
При имеем гармонический ряд
, который расходится (
).
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при
.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 964;