Арифметика рядов Фибоначчи
Изучая размножение кроликов, итальянский математик Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) с удивлением обнаружил, что оно происходит не хаотичным образом. Оно создает удивительный порядок чисел, последовательное сложение которых (начиная с двух наименьших чисел натурального ряда 1 и 1, или 1 и 2) выводит образовавшуюся бесконечную последовательность на такое отношение двух соседних чисел, которое стремится к золотому числу и тем ближе, чем это отношение дальше от начала ряда [24]. Приведем начало ряда:
Ряд 1.
| … | |||||||||||||||
| … |
Если теперь делить, например десятое число на одиннадцатое, то в результате получаем:
55 : 89 = 0,617977528,
что только на 5,646×10-5 меньше золотого числа 1/Ф = 0,618033988… . Если же разделить одиннадцатое число на десятое имеем:
89 : 55 = 1,618181818,
что на 1,478295×10-4 больше золотого числа Ф = 1,618033988, то есть результат равен золотому числу по четырем знакам, чего достаточно для большинства практических целей. Результат же от деления, например двадцать первого числа на двадцатое дает точность золотого числа
17711 : 10946 = 1,618033985,
до девятого знака, т.е. такую точность, которая не нужна в практике.
Аналогичный ряд был получен математиком Люка, только у него первые два числа равнялись 1 и 3. Посмотрим, на примере тех же членов ряда Люка, как они приближаются к золотому числу (ряд 2).
Ряд 2.
| … | |||||||||||||||
| … |
Делим десятое число на одиннадцатое и получаем:
123 : 199 = 0,61809045,
истинное значение – Ф = 0,61803399…
Делим одиннадцатое число на десятое:
199 : 123 = 1,617886179, истинное значение – Ф = 1,61803399…, то есть те же четыре знака точности. Делим двадцать первое число на двадцатое:
39601 : 24475 = 1,618018386.
Приближение к золотому числу чисел Люка происходит несколько медленнее, чем ряда Фибоначчи, но и этого для практических целей достаточно. Отметим, что приближение это начинается с двух величин, одна из которых больше Ф, а другая меньше ее, и идет с чередованием как со стороны, превышающей Ф так и от величин, меньших Ф. Отметим это очень важное обстоятельство для понимания рядов.
Теперь посмотрим, что происходит с любыми двумя случайными числами “построенными” в ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, например, с числом 7 и большим по числовой значимости числом 16 (ряд 3).
Ряд 3.
| … | |||||||||||
| … | |||||||||||
| … | |||||||||||
| … |
И проделаем те же расчеты, которые производились ранее. Делим десятое число на одиннадцатое, а потом одиннадцатое на десятое:
691 :1118 = 0,6180679,
1118 : 691 = 1,6179450,
и двадцать первое на двадцатое:
137507 : 84984 = 1,618033983,
получаем результаты аналогичные ранее проведенным расчетам и с примерно той же точностью.
Попробуем произвести еще один расчет. Сведем в один ряд маленькое дробное число и большое, например, 0,25 и 844,05 (ряд 4).
Ряд 4.
| 0,25 | 844,05 | 844,3 | 1688,35 | 2532,65 | 6753,65 | 10974,6 | 17728, | 28702,9 | |
| … | … | ||||||||
| 46431,2 | … | … |
И еще раз проделаем расчеты с числами из тех же столбцов:
28702,95 : 46431,25 = 0,61818172,
46431,25 : 28702,95 = 1,61747315,
и делением двадцать первого числа на двадцатое:
9240662 : 5711043 = 1,618034044.
Примерно те же точности, что и в предыдущих примерах, а это означает, что ряды типа Фибоначчи и Люка появляются не только при использовании первых трех чисел натурального ряда, но и при употреблении двух любых арифметических величин. И, похоже, во всех случаях на одиннадцатой операции сложения пропорция из двух соседних чисел будет обусловливать получение золотого числа с точностью до четвертого знака.
Продолжим рассмотрение ряда Фибоначчи, например, с восемнадцатого числа и попробуем понять, к чему стремятся получаемые члены ряда. Заполним ряд 5-й.
Ряд 5.
Разделим все члены пятого ряда на какое-то число из них, например, на двадцать пятое и полученный результат запишем в шестой ряд.
Ряд 6.
| 0,034 | 0,0557 | 0,0902 | 0,146 | 0,236 | 0,382 | 0,61803 | 1,000 | 1,61803 | 2,6180 | 4,2360 |
Выясняется, что члены ряда Фибоначчи, начиная примерно с 12 слагаемого представляют собой геометрическую прогрессию, основанием которой является золотое число Ф, умноженное на некоторый коэффициент, которым может оказаться любое слагаемое ряда (например, двадцать первое 17711 или двадцать пятое 121393 в ряду 5 и т.д.). В результате деления членов ряда 5 на 121393 были найдены и занесены в 6 ряд золотые числа греческого ряда, которые получаются в настоящее время последовательным делением единицы на Ф (нисходящий ряд) и последовательным умножением единицы на Ф (восходящий ряд). Из ряда 6 следует, что все ряды геометрической прогрессии в неявной форме включают золотое число Ф, никогда не начинаются с некоторого числа и бесконечны как в сторону восхождения, так и в сторону нисхождения. Центром же их является базисная 1. Однако ряды типа Фибоначчи имеют началом “случайные” величины и только на одиннадцатой операции сложения начинают изменять свое первоначальное качество, переходя с ряда слагаемых в геометрическую прогрессию, создавая тем самым новое качество – геометрическую прогрессию.
И можно полагать, что физическая сущность рядов Фибоначчи заключается в некотором моменте различия между исходными величинами слагаемых, и это различие прослеживается на протяжении всего процесса суммирования в виде бесконечного стремления изначально суммируемых чисел к золотому числу Ф.
Однако вернемся к рядам. Несколько позже другой ученый, французский математик Б. Паскаль, изучая процесс деления клетки, обнаружил, что оно происходит путем раздвоения материнской клетки, а каждая последующая клетка тоже делится пополам, образуя геометрическую прогрессию. В симметричном же построении цифр столбцом друг под другом, проявляется что-то подобное треугольнику: 1; 2; 4; 8; 16; … и т.д. Процесс получения геометрической прогрессии с цифры два был назван “треугольником Паскаля”. Интересно и очень значительно то, что именно этим способом разделяются на меньшие отрезки древнерусские соизмерительные инструменты – сажени. (Сажень, полсажени, четверть сажени – локоть, одна восьмая – пядь, одна шестнадцатая – пясть и последний отрезок, одна тридцать вторая – вершок). Архитектор А. Пилецкий [25]использовал систему удвоения и раздвоения русских саженей для построения в единой системе чисел нескольких рядов Фибоначчи. Т.е. сдвоил ряд Фибоначчи, изменив его качество и получив уже не один ряд, а как минимум два взаимосвязанных ряда, числа, которых стали таблицей. Поэтому два и более ряда типа Фибоначчи можно назвать рядом Пилецкого. Построим таблицу 3 по его методу.
В этой таблице 3 третий снизу ряд чисел – Фибоначчи (отмечен полужирным шрифтом). Из него следует, что он начинается одной единицей, а не двумя, как сегодня принято. Все члены поля получаются по рядам последовательным сложением двух соседних чисел, т.е. методом Фибоначчи, а столбцы – удвоением каждого нижнего числа, т.е. методом Паскаля. В результате все числа таблицы
Таблица 3.
| … | ||||||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| … | ||||||||||
| 0,5 | 1,5 | 2,5 | 6,5 | 10,5 | 27,5 | 22,5 | … | |||
| 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,25 | 3,25 | 5,25 | 8,5 | 13,25 | 22,25 | … | |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
оказываются связанными между собой коэффициентами и по горизонтали (по строкам) и по вертикали (по столбцам), и по диагоналям. Эта связь, которая ощущается в начале таблицы достаточно зыбко, все “упрочняется” по мере возрастания чисел и, наконец, превращает таблицу в матрицу, бесконечную в трех направлениях, все члены которой связаны между собой и как бы постоянно “помнят” об этой связи, “помнят” о своей матрице. Этой “памятью” обладают все вещественные числа. И им более подходит наименование “софистические” или “мудреные” числа, название которое им было дано итальянским математиком Кардана. Неисчислимая бесконечность матрицы как бы отображает непрекращающийся процесс наращивания числового поля, обусловливая динамический характер золотым целым, дробным и иррациональным числам.
“Вырежем” часть поля таблицы 3, начиная, например с двадцать первого числа и рассмотрим, какими коэффициентами (числами золотых пропорций) связываются числа этого поля (таблица 4). Для чего разделим все члены числового поля таблицы 4 на число 46368 (в таблице 4 выделено полужирным шрифтом) и, заполним аналогичную таблице 4 сетку получившимися числами с точностью до пятого знака. Образовавшаяся таблица приобретает свойства золотой матрицы (матрица 1)
Таблица 4
| 8855,5 | 14328,5 | 37512,5 | 60696,5 | |
| 4427,75 | 7164,25 | 18756,25 | 30348,75 |
Матрица 1 есть фрагмент числового поля, относящегося к классу русских матриц, описанных в [26]. Это единственная бесконечная во всех направлениях золотая матрица, у которой члены среднего ряда повторяют греческий ряд золотых чисел, базисный столбец образуют целые четные числа Паскаля, а остальные числа поля пропорциональны золотому числу.
Матрица 1.
| 1,5279 | 2,4721 | 6,4721 | 10,472 | |
| 0,76393 | 1,2361 | 3,2361 | 5,2361 | |
| 0,38197 | 0,61803 | 1,61803 | 2,61803 | |
| 0,19098 | 0,30902 | 0,5 | 0,80902 | 1,3090 |
| 0,09549 | 0,15451 | 0,25 | 0,40451 | 0,65451 |
Класс русских матриц единственный из числа матриц, в котором два любых числа по горизонтали при последовательном сложении образуют третье. Он – объемен и обладает множеством особенностей, отсутствующих у других матриц, но главное – он базируется на золотых пропорциях (о классе русских матриц далее). Матрица же 1 имеет следующие золотые коэффициенты взаимосвязи:
По столбцам – 2,
По строкам Ф = 1,618,
По диагонали слева направо снизу вверх 2Ф = 1,618× 2 = 3,236,
По диагонали слева направо сверху вниз 2/Ф = 2/1,618 = 1,236.
Существует еще несколько способов нахождения золотого числа Ф. К ним относятся деление отрезка в крайнем и среднем отношении (далее рассматривается подробнее), представление Ф в виде цепной дроби, и представление его в радикалах. Рассмотрим вкратце эти методы. Начнем с цепной дроби. Ее запись:
Если ограничить “спускающийся” ряд знаменателя двенадцатью членами и, приняв за последнее число 1, решить эту дробь, то решение начнется с числа 2 и приближение к Ф будет происходить чередуясь как “спуск” с величины большей золотого числа с 2, так и “подъем” с меньшей – 0,5, т.е. имеет осциллирующий характер. В результате на той же одиннадцатой операции будет получено число Ф с точностью до четвертого знака. То есть цепная последовательность приближения суммируемых единиц знаменателя к золотому числу повторяет суммирование чисел рядов Фибоначчи – Люка. Если же за последнее число знаменателя примем не 1, а, допустим, 16 или любое другое число, то расчеты показывают, что приближение идет с осциллирующим чередованием и то же количество операций. Таким образом процедура получения Ф по цепной дроби практически повторяет результаты решения по рядам Фибоначчи, только слагаемые числа находятся в знаменателе и не зависит от того, какое число заключает “цепной” знаменатель.
Коротко ознакомимся с нахождением числа Ф методом “радикалов”.
Понятно, что начальным в процедуре расчета или конечным в ряду радикалов является число 2. Подставляем его в радикал и проведя расчеты убеждаемся, что число Ф с точностью до четырех знаков получается на той же одиннадцатой операции, но приближение к нему идет только сверху. Проведем расчеты, поставив последним в ряду радикалов число 16. Результат полностью аналогичен предыдущему. Число Ф получается на одиннадцатой операции, приближение идет сверху. Таким образом все четыре способа нахождения числа Ф являются в какой-то мере аналогами. Отличие только в том, что метод сложения любых вещественных чисел обусловливает быстрое получение основного варианта золотой русской матрицы.
Здесь же отметим основные моменты свойств рядов Фибоначчи:
- Получение золотого числа Ф методом Фибоначчи – Люка не ограничивается сложением двух минимальных чисел 1 и 3, а распространяется на любую пару вещественных чисел.
- Золотое число Ф с точностью до четвертого знака включительно во всех случаях получается из соотношения двух соседних чисел ряда уже на одиннадцатой операции сложения. Количество операций сложения, необходимых для приближения к золотому числу, не определяется величиной слагаемых чисел.
- Последовательность приближения к Ф идет как сверху вниз (результат первого деления превышает Ф), так и снизу (результат первого деления меньше Ф), но, никогда не становится равным Ф, приближаясь к нему на бесконечно малую величину.
- Если известно одно число класса Фибоначчи, то имеется возможность получения всего потребного для операций ряда и тем точнее, чем далее оно находится от начала ряда. Числа “помнят” о своем месте в ряду.
- Важнейшим обстоятельством для понимания физического смысла золотой пропорции становится наличие только двух чисел, участвующих в построении ряда. Можно полагать, что эти числа математически отображают взаимосвязи реальных тел природы.
- Каждый ряд Фибоначчи, последовательно возрастая, «вырождается» в геометрическую прогрессию.
- Все ряды геометрической прогрессии в неявной форме включают золотое число Ф и бесконечны как в сторону восхождения, так и в сторону нисхождения.
- Применение геометрической прогрессии Паскаля к рядам Фибоначчи обусловливает появление таблиц с взаимосвязанными по всему полю числами.
- Геометрические прогрессии рядов Фибоначчи при делении всех чисел поля на одно из них образуют золотые объемные матрицы.
- Числовое поле русских матриц отображает высшую арифметическую и степенную комбинаторику как гармонию природных процессов, выраженную в математической форме.
Наличие формальных и природных свойств у чисел и алгебраических символов обусловливает возможность представления одних и тех же уравнений как в алгебраической, так и в геометрической форме. Именно этим методом решается задача деления отрезка в крайнем и среднем отношении.
3.2. Библейская геометрия
Золотого сечения
Есть у датского сказочника Андерсена изумительная сказка о гадком утенке.
На одном гомонливом птичьем дворе жил в семье «правильных» утят неприкаянный утенок. Он был безобразен, неповоротлив, чуден и презираем всем птичьим содомом. Он был одинок. Все его попытки присоединиться к какому-либо птичьему семейству заканчивались тем, что его отовсюду гнали, били, клевали. И так продолжалось до тех пор, пока «утенок» не превратился в белого красавца лебедя.
В математике существует свой гадкий «утенок» − золотая пропорция. И хотя к этой пропорции с давних пор проявлялся немалый интерес, интерес этот был односторонен и проявлялся в основном со стороны деятелей искусств: художников, скульпторов, историков, архитекторов. Ни одно направление математики, физики, и других точных наук не считало и не считает золотые пропорции своей частью или разделом. Пропорция эта оказалась на столетия не востребованной ни одним из предметов современной науки. Даже не смотря на то, что «утенок» − золотые пропорции на глазах превращается в «белого лебедя», необходимых всему спектру научных дисциплин. Мы полагаем, что «бесхозность» золотых пропорций канула в лету. Золотые пропорции – базис русской геометрии, основа отображения природных процессов в математике и физике, становятся обязательным элементом каждой научной дисциплины. Познакомимся с этим базисом.
Откуда пришли представления о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, позволяющем получать золотое число Ф и образующее пропорцию, названную Леонардо да Винчи «Золотым сечением», а Кеплером «Божественной пропорцией» − неизвестно. Но в Древнем Египте и в Древней Греции на основе золотого числа Ф = 1,618… был получен ряд из 11 чисел посредством последовательного бесконечного умножения базисной 1 на Ф (восходящая ветвь ряда) и деления базисной 1 на Ф (нисходящая ветвь ряда), имеющий названия золотого ряда (варианты: греческий или египетский ряд [26]). Воспроизведем его:
…; 0,934; 0,056; 0,090; 0,146; 0,236; 0,382; 0,618: 1,00; 1,618; 2,618; 4,236; …
Золотое число Ф = 1,618... получается несколькими способами, один из которых - деление отрезка в крайнем и среднем отношении (рис. 42). Для чего отрезок делится в крайнем и среднем отношении и о чем свидетельствует золотое число Ф, до сих пор неизвестно. Известно только, что деление это создает эстетически законченный образ тех человеческих творений, в которых они находят применение. Отметим, что в постановке задачи говорится о делении одного отрезка на две неравные части а и с так (рис. 42), чтобы весь отрезок (а + с) относился к большей части с как с к меньшей части а. Для получения золотой пропорции отрезок АС делится на две неравные части АВ = а и ВС = с так чтобы его длина АС = АВ + ВС = (а + с) относилась к большей части с, как с относится к меньшей части а. Запишем это отношение и проведем несколько более сложные, чем ранее, расчеты:
А В С
а с
Рис. 42.
(а + с)/с = с/а (3.1)
Пропорция (3.1) носит название золотой пропорции. В данном случае подразумевается конечная в рациональных числах длина отрезка (а + с), кратная некоторому измерительному инструменту, допустим метру. В условии задачи нигде не говорится о невозможности его целочисленного или дробного рационального деления и о нерациональности двух(?)образующихся при делении отрезков. Это очень важная оговорка. Она подтверждает непреднамеренный, а как бы вероятностный или даже случайный характер деления. Проверим эту случайность, заменив в (3.1) отношение с/а на b:
b = с/а, (3.2)
и, подставив (3.2) в (3.1), получаем квадратное уравнение
b2 - b - 1 = 0, (3.3)
решая его, находим два значения величины b:
b1 = (1+Ö5)/2 = Ф = 1,6180339, (3.4)
b2 = (1-Ö5)/2 = − 1/Ф = − 0,6180339. (3.4)
Золотое число Ф − является числом иррациональным (скрытым от точности числом). То есть таким числом, бесконечная последовательность которого не может быть вычислена до конца, сколько бы времени его ни вычисляли. И для его получения приходится прерывать вычисления, округляя результат на той цифре, которая необходима по условиям задачи. А это означает, что иррациональное число, понимаемое нами как число фиксированное, таковым не является. Оно индивидуально, не имеет однозначного количественного выражения и отображает своего рода математическое качество (качества не складываются). Оно отражает неограниченную количественную величину и не может точно складываться как с рациональными, так и с иррациональными числами. Иррациональное число - это бесконечный процесс, который продолжается в формализации даже в том случае, когда мы прерываем вычисления. Прерывая вычисления, мы не прерываем процесса. И можно считать, что ряд золотых чисел есть отображение совокупности взаимозависимых, непрерывных процессов. Процессов, соответствующих многим формам движения природных систем. Оно квантованный (выделенный из числового ряда) элемент числового ряда, обособленный от него и не примыкающий ни к одному большему или меньшему числу. Все операции с ним проводятся с приблизительной точностью. Повторяем: иррациональное число - качественная индивидуальность, и, следовательно, бесконечный ряд иррациональных чисел не является дурной бесконечностью и не входит ни в один числовой ряд. С получением иррационального числа в математику входит представление о числовом математическом качестве и квантовании чисел, вне зависимости от того, осознали это ученые или нет. Квантованное иррациональное число - основа и предтеча квантованной геометрии. Но вернемся к Ф.
Получив Ф и ее обратную величину, т.е. два числа b1 и b2, мы успокаиваемся, так и не определив, чему же равны количественные величины чисел а и с в формуле (3.1) и какое отношение они имеют к b, тем более, что подстановка b в (3.2) не приводит к определению величин а и с, а следовательно, не решает поставленную задачу. Тогда зачем же мы находим b? Ответ - только для того, чтобы получитьбезразмерностное Ф, поскольку знаем, что это число - основа золотой пропорции и потому знание величины числового значения отрезков а и с нам уже не требуется. Но в чем же суть золотой пропорции?
Попробуем решить (3.1) другим путем. Умножим числитель и знаменатель левой части отношения (3.1) на а. А правой части на с и, сократив знаменатели, получим следующее уравнение:
a2 + ac = b2. (3.5)
Уравнение (3.5) по количественной величине а и с оказывается полностью неопределенным. Ее члены, хотя и зависимы друг от друга, могут составлять пропорции при любых числовых значениях одного из них. Если же в (3.5) вместо ас, подставить b2:
b2 = ac, (3.6)
то уравнение (3.5) из пропорции превратится в теорему Пифагора:
а2 + b2 = c2 . (3.7)
Красота теоремы Пифагора и золотого сечения вызывали восхищение многих математиков, считавших их различными геометрическими образованиями. Вот как выразил свое восхищение Иоанн Кеплер: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. … Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».
Исходя из (3.7) можно полагать, что эти сокровища обобщены в одно математическое чудо. Но продолжим.
Поскольку операция замены ас на b2 при данных ограничениях возможна только в единственном случае, когда а = ÖФ, то в исполнении (3.7) числа а, b, с оказываются однозначно связанными с золотым числом Ф. И, как следствие, члены уравнения (3.7) становятся геометрически квантованными относительно золотого числа. Какую бы количественную величину они не имели они всегда остаются степенью числа Ф. Появление квантованной по золотому числу Ф геометрической зависимости свидетельствует о возможности построения геометрии на квантованных числах или, иначе говоря, о возможности построения квантованной геометрии.
Но вернемся к уравнению (3.7), которое описывает равенство суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника квадрату гипотенузы. В нем индекс b численно отображает большой катет прямоугольного треугольника. И, следовательно, деление в крайнем и среднем отношении есть деление не на два отрезка, а на три, в пропорциях прямоугольного треугольника, в котором число b равное Ф неявно занимает место одного из катетов. И вместо двух отрезков мы как бы получаем три, образующие новое геометрическое качество - прямоугольный треугольник. Отметим это удивительное обстоятельство и продолжим.
Наличие отношений (3.2) и (3.6) свидетельствует о существовании еще одного числа i, кратного а, b, с. Для получения i возведем в квадрат (3.2) и, подставляя в него значение b2 из (3.6), имеем:
a2×ac = c2 , (3.7')
c = a3.
Подставляя величину с из (3.7') в (3.2), получаем:
b = a2.
И окончательно:
a6 = b3 = c2.
Поскольку b имеет два значения b1 = 1,618, и b2 = 0,618, то по ним находим i1, i2:
i1 = b13 = (1,618)3 = 4,2358,
i2 = b23 = (0,618)3 = 0,236.
Извлекая из i1 и i2 корень шестой степени, получаем количественную величину a1, a2:
a1 = 6Öi1 = 6Ö4,236 = 1,272,
a2 = 6Öi2 = 6Ö0,236 = 0,786.
Проведя извлечение квадратного корня из чисел i, находим значения с:
c1 = Öi1 = 2,058,
c2 = Öi2 = 0,4858.
Выясним, какой модуль по длине, рациональный или иррациональный, имеет отрезок, делимый в крайнем и среднем отношении:
с1 + а1 = 3,33019... = a15.
Таким образом, в крайнем и среднем отношении делятся только иррациональные отрезки. А это может обозначать только одно - все естественные отрезки сами по себе и сами для себя имеют свою иррациональную метрику, несоизмеримую со стандартной (декретной) метрикой.
Из решения уравнения (3.7), находим два значения а: а1 = 1,272, а2 = 0,786, два значения с: с1 = 2, 058, с2 = 0,4858, и два значения нового числа i: i1 = 4,236, i2 = 0,236. В результате решения пропорции (3.1) по теореме Пифагора были получены 8 иррациональных чисел, образующих с базисной 1 новый ряд, золотой пропорции Ф, аналогичный египетскому ряду.
Следует обратить особое внимание на то, что способ деления отрезков в крайнем и среднем отношении с использованием теоремы Пифагора, по-видимому, единственный, обусловливающий нахождение девяти (из тринадцати) взаимосвязанных и пропорциональных Ф золотых чисел (три отсутствующих числа легко восстановимы), образующих ряд, отличающийся от египетского пропорциональностью каждого числа «коэффициенту» 1,272... .
Таким образом, деление в среднем и крайнем отношении с использованием теоремы Пифагора, по-видимому, единственный способ, обусловливающий нахождение девяти (из тринадцати) золотых чисел пропорциональных Ф (три отсутствующих числа легко восстановимы), и включает в себя не только раздвоение отрезка в определенной пропорции, но и получение ряда чисел, в восходящем, и в нисходящем ветвях образующих ряд, отличающийся от египетского «коэффициентом» 1,272..., равным: а = 1,272019… = ÖФ. Ограниченных, однако, пределами шести чисел нисходящего ряда числом 0,236 и такого же числа чисел восходящего ряда числом 4,236, что вместе с базисной 1 составляет число 1\12. Причем о возможности получения в результате решения такого уникального ряда в условиях задачи нет даже намека. По этой причине, похоже, ни у кого из исследователей и не возникало подозрения в существовании двух вариантов решения задачи. Приведем этот искусственно отграниченный ряд с выделением отсутствующих чисел:
0,236; 0,300; 0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,000; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; 4,236. (3.8)
Этот удивительный, бесконечный в потенции, но искусственно отграниченный ряд иррациональных чисел, часть русского ряда [26], до сих пор не замеченный исследователями золотого сечения,назван намибиблейским рядом. В искусственном отграничении 1\12 числа ряда обладают целым букетом необыкновенных не только математических, но и библейскихособенностей:
- во-первых; полученные иррациональные числа, округленные до четвертой цифры, не являются вероятностным набором, а образуют некоторую квантованную отдельностями последовательность, аналогичную египетскому ряду и пропорциональную числу 1,272;
- во-вторых; ряд этот, имея своим центром базисную единицу 1, включает 1\12 чисел; по шесть на восходящих и нисходящих ветвях, явно отображая библейскую историю Христа с апостолами на тайной вечерне. Ну, точно как на картине Леонардо да Винчи, в центре Христос, а справа и слева по шесть апостолов [26]. И получается, что наличие в золотой пропорции сакральной композиции «Тайной Вечерни» является математическим подтверждением прихода на землю Сына Бога – Иисуса Христа;
- в-третьих; число 1 в этом ряду - выделенное, базисное, целое. Оно не равнозначно ни одному из предыдущих и последующих чисел. Оно обладает высшим рангом, иным качеством, чем остальные числа ряда, и входит в неявной форме в состав каждого числа (Так же как и Христос не равнозначен по происхождению, значимости и интеллекту своим ученикам – Апостолам.);
- в-четвертых; базисная1 - точка начала отсчета качественно разной бесконечности в обе стороны. Точка, неявно присутствующая в любой области бесконечного. Центр, разрывающий бесконечность числовой последовательности на два качества. Опора в бесконечности. То, безначальное, что становится началом конечного. Оно - Бог числа, без него невозможно представить ни одно число и, похоже, по этой причине считается сакральным у многих народов мира;
- в-пятых; шесть последовательных чисел от базисной 1становятся началом всякого динамического движения. Последовательность и значимость движения определяется количественным качеством первого от 1 числа;
- в-шестых; структура пространства - числовое поле ряда, определяется количественной величиной первого числа от базисной 1. Отсчет «рядовых» чисел поля начинается с седьмого числа;
- в-седьмых; базисная единица 1- числовой Бог, «разрывает» бесконечное-безначальное превращаясь в начальное, базисное и создавая числовое конечное;
- в-восьмых; появление базисной 1 в математике обусловливает существование инвариантных отношений как количественных отображений бесконечного движения, как основу формализации параметров динамической (физической) геометрии [2];
- в-девятых; ветви ряда, образуемого по обе стороны базисной 1 являются своего рода зеркальными подобиями - качественными антиподами. Они проявленное следствие однонаправленного движения первого, от базиса, числа, которое по обратную сторону базиса превращается в свою противоположность и меняет направление своего движения.
- в-десятых; русский ряд, частью которого являются библейские числа, - числовое, иррациональное образование, символ непрекращающего бесконечного движения, представитель бесконечного множества аналогичных рядов.
Эти необычайные и, как будет показано далее, не единственные особенности русского ряда золотых пропорций однозначно выделяют его из всех остальных математических отношений, но не отвечают на вопрос: Почему этому делению придается такая значимость?
Решив задачу на деление отрезка в крайнем и среднем отношении и получив представление об очень важных свойствах золотой пропорции - числовом ряде из 1\12 чисел, мы, тем не менее, не пришли к пониманию того, зачем нужны эти числа, что они означают и не нашли ответа на вопрос: Зачем же делится отрезок в столь “странной” пропорции?
Попробуем подойти к делению с другой стороны. Хотя из полного решения и был получен ряд чисел, исходными для деления отрезка оказались два числа: 1,272... и 2,058... . Причем их можно рассматривать двояко:
как длину каждого из полученных в результате деления отрезков;
как числовую отметку левого и правого концов первоначального отрезка.
В первом случае предполагается, что первоначальный отрезок существует локально и имеет длину равную сумме чисел-отрезков 1,272 и 2,058, тогда и число 1,618 приобретает значимость какого-то неявного отдельного или «приставленного» к другим отрезка.
Во втором случае предполагается, что первоначальный отрезок не локализован, является частью более длинной линии и имеет продолжение, по крайней мере, со своей левой стороны. Числа же являются отметками о том, что от начала левого отрезка укладывается 1,272 неких мерных эталонов, и заканчивается числом 2,058 тех же мерных эталонов. То есть длина всего выделенного первоначального отрезка равна 0,785 эталонов неизвестной метричности. И в этом случае полученное золотое число b = Ф = 1,618 оказывается счетным количеством тех же мерных эталонов. И делит первоначальный отрезок на две как бы неравные части 0,346 и 0,44, в той же пропорции 1,272.
Предположение о том, что все три числа являются отметками на линии неизвестной протяженности вполне возможно, вот только не удается укладывать на отрезки иррациональные длины никакие статические измерительные эталоны. А другими статическая геометрия не располагает. Чтобы процесс измерения состоялся, приходится на каждом шаге измерения либо увеличивать размер эталона, либо уменьшать его на строго нормированную величину (это вызывается монотонным изменением плотности пространства динамической геометрии). То есть использовать не статический, а динамический, иррациональный измерительный инструмент. И, следовательно, длина инструмента будет постоянно изменяться в зависимости от направления движения на один и тот же коэффициент б. Как раз по тому закону, по которому изменяется скорость динамических параллельных следов точек, движущихся к одному центру, то есть по законам гомотетии.
Допустим, что нам известна количественная величина коэффициента б. Возможно ли в этом случае определение длины эталона? Вряд ли. Похоже, что для определения динамического, иррационального эталона длины знание б недостаточно. Необходимо также знание величины того первого базисного эталона, который принимается за единицу длины линии и с которого она начинается. А он может быть как размерностный, так и безразмерностный. Естественно, что эталон находится слева от 1,272 и 1,618, и с него начинается линия. И так же естественно, что его величина заложена в эти числа, как и во все остальные числа бесконечной числовой последовательности данного ряда. Но какова она количественно?
Ответ на него может быть получен при анализе 1\12 выделенных динамических, пространственно изменяемых чисел. Чисел, качественных в своей отдельности, взаимосвязанных через базисную единицу. Чисел, имеющих примерно то же значение, которое им придавал Пифагор [3]. Он рассматривал: «…Число не как абстрактное количество, но как существенное и деятельное качество верховной Единицы, Бога, источника мировой гармонии».Наука чисел была наукой живых сил, божественных качеств в действии, как в мирах, так и в человеке, как в макрокосме так и в микрокосме. Следовательно, проникая в свойства чисел, схватывая и объясняя их разнообразные сочетания, Пифагор создавал, в сущности, целую теогонию или обоснованную на разуме теологию».
Первичным эталоном - Богом числа, определяющим динамику деформации замеряемого числами пространства, является базисная 1(верховная Единица по Пифагору).Она - начало отсчета одного качества. Она же и конец отсчета того же качества. Она - число другого ранга. Связанное и не связанное с числами, начинаемыми от нее. Она - рациональная единица в иррациональном поле. Внешние числа (измерения?) «обтекают» ее самопревращаясь качественно и не проникая в нее. Она - целое среди дробного, другая, не раскрываемая реальность, другой мир, вмещающий другие нам неизвестные числа как отдельные целые. Для данного отрезка найти ее можно последовательным делением:
2,058 : 1,272 = 1,618 : 1,272 = 1,272 : 1,272 = 1.
Теперь надо перейти от целого базисной 1, к коэффициенту изменения ряда б. И здесь подсказкой служит количество полученных ранее чисел в отрезке - 12. Базисная 1 не входит в структуру иррационального числового ряда. Она выделенное число хотя и стоит в ряду других чисел, но ему не принадлежит (Отметим - Христос, хотя и был сыном человеческим и находился среди людей, но был «не от мира сего», оставаясь сыном Господа.). Логически можно предположить, что от первого числа отрезка до 1 укладывается 6 динамически равных эталонных размеров б. (Ближе, чем на 6 чисел подходить невозможно, ближе - собственная числовая зона базисной 1, особая зона числового поля, а в Библии – «зона» апостолов). Следовательно, чтобы исходя из (3.8) получить коэффициент б, необходимо из 1,272 извлечь корень шестой степени. Извлекаем и получаем:
б = 6Ö1,272 = 1,04091...
Поскольку перед нами отрезок АС, локализованный двумя числами А = 1,272 и С = 2,058, то его длина равна:
АС = 2,058 – 1,272 = 0,786,
и он делится «числом» Ф = b = 1,618 на две неравные части АВ и ВС:
АВ = 1,618 – 1,272 = 0,346; ВС = 2,058 – 1,618 = 0,440.
Каждая из этих частей в свою очередь делится на 6 динамических эталонов. Зная величину б = 1,04091..., можно последовательно умножая 1,272 на б получить величину каждого эталона. Суммируя их, – найти количественную величину обеих отрезков. И мы подходим к пониманию того, что скрывается за операцией деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Итак, умножаем:
1,272 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 = 1,618.
1 2 3 4 5 6
Дин. эталон; 0,05205 + 0,05417 + 0,0563 + 0,0587 + 0,0611 + 0,0636 = 0,346
Каждое умножение есть элемент изменения длины эталона. И на расстоянии АВ = 0,346 укладывается ровно шесть динамических эталонов. Продолжим умножение:
1,618 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 х 1,0409 = 2,058.
1 2 3 4 5 6
Дин. эталон; 0,0664 + 0,0687 + 0,0717 + 0,0747 + 0,0777 + 0,0809 = 0,440
И на втором отрезке ВС = 0,440 уложилось ровно 6 динамических эталонов длины. И приходим к выводу:
Деление отрезка в крайнем и среднем отношении, есть деление пополам (на два физически равных отрезка) в пространстве физической геометрии. (Похоже, что и Христос как преданный, как Сын Господа и сын человеческий становится своего рода «разделом» между духовным и материальным мирами.)
Ответ на основной вопрос получен. Ясно так же, что в каждом последующем числе до и после 1 присутствует частица этой базисной 1, как бы далеко это число не отстояло от базисной (совсем по Ведам, в сердце каждого человека есть частица Господа).
Итак, рассматриваемый локализованный отрезок АС делится золотым сечением на два физически равных отрезка, а, следовательно, данный отрезок располагается в динамическом пространстве изменяемой плотности (в гравитационном пространстве), и, например, один его конец направлен к плотностному центру, а другой - в противоположном направлении, перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям. Причем пространственное силовое поле изменяется пропорционально R2, то есть таким же образом, как оно изменяется по закону притяжения. Отсюда, структура деформации тела, движущегося вдоль отрезка, определяется направлением его движения. А самотрезок, в цифровом представлении, является частью некоторого числового возрастающего (убывающего) ряда вида:
0 …q-п q-3q-2 q- 1® q1® q2® q3® …qп® ¥ (3.8¢)
где q – любое по численной величине число от базисной 1.
Ряд (3.8') строго пропорционален знаменателю библейского ряда (3.8¢). Если же отсчитывать от базисной 1 в любую сторону, то перед нами геометрическая прогрессия, возрастающая по одну сторону базисной 1 и убывающая по другую сторону ее. Естественно, чтов зависимости от направления движения вдоль чисел один и тот же ряд геометрической прогрессии является либо возрастающим, либо убывающим. Геометрическая прогрессия, в современной математике, не связана с золотым числом, и отображает систему пропорционально изменяемых чисел, не имеющих базисной единицы. Однако бесконечная геометрическая прогрессия превращается в русский ряд, аналогичный (3.8), если все числа прогрессии разделить на любое число входящее в нее, и в бесконечном ряду (или в математической бесконечности) появляется точка отсчета - базисная 1. А это может свидетельствовать о конечности и бесконечности каждой точки пространства. Числа образовавшегося ряда будут пропорциональны ряду (3.8) на степень одного и того же коэффициента равного первому от базисной 1 числу, деленному на 1,272… .
Таким образом, деление всех чисел бесконечного геометрического ряда на одно из его чисел вносит в ряд точку отсчета – базис, начало отсчета в одну и противоположную сторону. Т.е обусловливает появление промежуточного начала бесконечности внутри ее, но не обусловливает окончания этой бесконечности в обе стороны.
Следовательно, геометрическая прогрессия является определенным математическим отображением структуры плотностного пространства динамической геометрии и содержит в себе систему, пропорциональную русскому ряду. Любая геометрическая прогрессия, представленная последовательностью из трех чисел ряда (3.8¢), например,
qп-1 ® qп® qп+1 ,
после приведения к базисному виду и сокращения на степень коэффициента может быть выражена в виде отрезка qп-1 ¸ qп+1, а его физическая срединная величина qп будет, по количественной величине, делением этого отрезка в крайнем и среднем отношении, или на две равные части в физической (динамической) геометрии [28].
Выделение же отрезков типа qп-1 ¸ qп+1 из (3.8) производится в золотой пропорции потому, что каждый отрезок а и с (Рис. 42), как и все числа русского ряда, пропорциональны соответствующим степенным числам и вмещают по шесть динамических эталонов, а последовательность коэффициентов б1, б2 ... и т.д. соотносится с численными величинами золотых пропорций. И когда локальный динамический отрезок делится пополам по отношению (3.8¢) при нем неявно существует и присутствует третий отрезок, начинающийся от базисной 1. Третий отрезок, физически равный двум остальным и, тем не менее, отличный от них, ибо его невозможно разделить на две динамические части без изменения количественной величины первого, от базисной единицы, числа. Естественно, что при любых первых числах базисная 1 не изменяется.
Таким образом, при делении в крайнем и среднем отношении одного отрезка неявно образуются три группы отрезков по шесть отрезков в каждой. Две явные, и одна неявная. Отметим, что искусственно локализованная числовая комбинация русского ряда 1\12, тоже вмещает в себя три группы цифр:
первая группа 0,236 ¸ 0,786;
вторая группа 1;
третья группа 1,272 ¸ 2,058.
Все три группы качественно различны, единственны, неповторяемы и образуют особую группу ряда, не имеющую аналогов в своих продолжениях при любой комбинации первых трех чисел. (Последние сами по себе образуют начало всех пропорций и в частности центр русских матриц.) У них имеется единственный центр - базисная 1.
Таким образом, геометрическая прогрессия является математическим отображением структуры бесконечного плотностного пространства динамической геометрии и содержит в себе систему чисел пропорциональную Ф. А «Божественная пропорция» отображает библейским рядом истинную структуру космического пространства, то есть истинную структуру материального космического пространства Господа. В отображении истинной структуры космического пространства и заключается суть золотой пропорции.
Выясняется, что математическое действие - деление отрезка в крайнем и среднем отношении имеет результатом не только нахождение русского ряда числовых, иррациональных величин, и в частности - числа Ф и базисной 1, но и значимости этих чисел, их “иерархического” построения, взаимоприсутствия каждого числа в каждом другом, а также такого структурного построения, которое, похоже, отображает космическое пространство и некоторые фрагменты жизнеописания Библией Иисуса Христа и его окружения. Это совпадение “иерархии” математической многовариантности и многозначимости чисел русского ряда с иерархией религиозной, с духовной многозначимостью Библии, обусловливает ему уникальное место в математике, и как прямого математического отображения реальных природных пропорций и движений, и как подтверждения истинности Библейских событий.
Отметим особо:Бог не выводится математически из материального мира, и Христос не является неким производным из уравнений математики. Бог – высшее существо, существо духовногоплана, а математическая интерпретация жизнеописания Христа только некоторое библейское подобие отдельных фрагментов его жизни. Учеников у него, как свидетельствует Библия, было немало (так 70 учеников, по той же Библия, он направлял проповедовать свою религию), но лишь двенадцать из них особо выделяются, поскольку получили в дальнейшем статус Апостолов.
Это «неожиданное» совпадение библейской и математической структуры никак невозможно признать случайностью, поскольку совпадают не один или два факта, а целая последовательность действий и религиозных взаимосвязей, обусловленных существованием Христа и подтверждаемых различными источниками. А в математическом случае - результатом решения задачи по делению отрезка в крайнем и среднем отношении. Его невозможно признать случайностью потому, что для описания религиозных аспектов жизни Христа в рамках этой задачи, преданные - авторы “Нового Завета”, и в первую очередь Иисус Христос, должны были знать методологию ее решения, и обусловливающую связь ее с библейской бытийностью. Знать то, о чем даже не подозревают современные математики. И что еще сложнее, продублировать эту методологию и “иерархию” в реальную жизнь, описанную Библией. Природные же и математические законы и задачи существовали задолго до появления Христа, а вместе с ними и задача о делении отрезка в среднем и крайнем отношении.
Подтверждающих факторов достаточно:
Это и многочисленные варианты священных писаний, и знание, за два тысячелетия до рождения Христа, древними египтянами золотого сечения, а, следовательно, и иерархической взаимосвязи, образующихся в результате решений чисел. Это и древнерусские сажени, удивительные соизмерительные инструменты, на основе которых строились сооружения не только на Руси, но и в Древнем Египте, пирамиды Америки и гигантские горы-пирамиды в Тибете. Все свидетельствует о том, что библейское «предание» о пришествии сына Господа на землю повествует о реальном событии и о реальном сыне человеческом - Христе.
И не только о нем. Результат решения задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении свидетельствует осуществовании Бога-Отца. Он не только создал все, но и «провел» по Земле Сына в некотором соответствии с иерархией математическихзакономерностей.
Прожить жизнь даже в некотором соответствии с математическими закономерностями человек не может потому, что в своей жизни он во многом подчиняется обстоятельствам, желаниям, страстям. И еще потому, что не знает динамических, божественных законов или знает далеко недостаточно даже для простого понимания, и никогда не будет знать, а тем более использовать. Поскольку постигает их поэлементно и неполно за промежуток времени, несопоставимый с его жизнью. Жизнь в соответствии с математическими законами, похоже, возможна только для Бога или Его Сына. И одно то, что Христос проживал по законам динамической геометрии − неоспоримое доказательство существования Бога-Отца.
Но самое удивительное природное доказательство существования Бога, и объяснения задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении похоже дает взаимосвязь пирамид, монументов древности и природных образований на поверхности Земли. Система, образованная естественными, природными объектами: остров Пасха, Бермудский треугольник, Северный полюс, гора Кайлас с искусственными структурами, включающими такие сооружения, как египетские пирамиды, мексиканские пирамиды, комплекс Тазумал в районе Сальвадора в Бразилии, Стоунхендж и т.д. Все они расположены на определенном расстоянии друг от друга и образуют тождественные парные геометрические фигуры. Их взаимное расположение выявил и изучал Э. Мулдашев [29]с коллегами. Оказалось, что если эти сооружения соединить линиями, то на поверхности земного шара образуются гигантские треугольники в количестве 12. Кроме этих двенадцати существует еще один выделенный треугольник, не имеющий пары. Они, в едином комплексе создают точно такую же комбинацию чисел 1\12 как та, которую образуют базисные 1\12 числа библейского ряда. Э. Мулдашевым показано, что двенадцать треугольников «завязаны» в симметричные подобные пары (точно так же, как числа библейского ряда) в разных концах земного шара относительно двух осей, проходящих от горы Кайлас (Тибет) до острова Пасха:
одна ось - гора Кайлас - остров Пасха напрямую через Атлантику,
другая ось - г. Кайлас - Стоунхендж - Бермудский треугольник - о. Пасха.
Кто, кроме Бога, мог возвести остров Пасхи, Бермудскую впадину, плато Гизе, г. Кайлас и закрутить земной шар на оси с Северным и Южным полюсом в системной комбинации с искусственными сооружениями (неизвестных цивилизаций), как бы монументально повторяющими и подтверждающими, на поверхности Земли, результат решения задачи по делению. И если не только жизнь Христа по Библии, но и структура планеты отвечают решению этой задачи, то возникает вопрос: Для какой цели сооружались эти объекты? Какая информация в них заложена?
Отметим что, проводя анализ основ динамической геометрии и решение задачи о делении отрезка в среднем и крайнем отношении, мы совершенно не предполагали, что этот анализ и решение задачи выведут нас на религиозную тематику. Покажут неопровержимыми фактами с одной стороны связь задачи на деление отрезка с принципами построения христианской религии, и в частности с библейским жизнеописанием Христа (Христос и двенадцать Апостолов), а с другой соединят, решением той же задачи, ряд крупных природных явлений с крупными объектами деятельности цивилизации (какой?) в громадные геометрические фигуры.
Если же смотреть только на математическую постановку вопроса, то в ней не просматривается даже намека на возможность возникновения религиозной проблемы. И все-таки она возникла, и возникла в самой четкой формулировке: Кто мог руководствоваться решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, проводя по жизни Иисуса Христа и при сооружении невозможных для любой цивилизации объектов? Например, геометрически связать Северный полюс, священную гору-пирамиду Кайлас, Бермудский треугольник и остров Пасху с искусственными монументами на Земле? Кто кроме Бога?
Вспомним, что числа этого ряда можно рассматривать как длину некоторого отрезка и отрезки эти, в своей последовательности, могут образовывать геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник. Это, еще одно, удивительное свойство бесконечного, иррационального ряда чисел, образовывать набор подобных прямоугольных треугольников при придании любой последовательности троек чисел (например, 2,058; 2,618; 3,330; или 0,236; 0,300; 0,382) значимости отрезков. Треугольники образуются и при последовательном сдвиге чисел на одну или две цифры (например, 2,058; 2,618; 3,330 - один треугольник; 2,618; 3,330; 4,236 - другой; 3,330; 4,236; 5,388 - третий и т.д.) Создается впечатление, что они нанизываются друг на друга, образуя невидимую цепочку.
Неявное существование в русском ряду чисел-отрезков, способных образовывать прямоугольные треугольники, не может быть случайностью. Похоже, что они выполняют какую-то неизвестную нам функцию, определяемую степенями и последовательностью чисел.
Но можно представить и другую картину. Имеются два ортогональных бесконечных катета, пересекаемых на пропорциональном иррациональном расстоянии параллельными линиями, отрезки которых превращаются в гипотенузы. А это уже не цепочка, а плоскость. И сразу же возникает предположение, что прямоугольные треугольники есть элементы прямоугольников, а их катеты - стороны прямоугольников. Продолжение катетов - оси координат х и у на плоскости, а гипотенузы - диагонали образовавшихся прямоугольников. И прорисовывающаяся естественным образом координатная сетка начинает походить на истоки некоей новой геометрии. Посмотрим, что еще скрывается в этом ряду.
Вернемся к теореме Пифагора об образующей плоскости и построим ее объемный аналог в трехмерном евклидовом пространстве. Проиндексируем любую последовательность из четырех чисел русского ряда, исходя из того, что каждые три числа последовательности образуют прямоугольник с двумя сторонами и диагональю: х, у, l, n, где l и n - диагонали прямоугольников x, y, l и yo, l, n. Они образуют следующие пропорции:
x2 + y2 = l2 ,
yo2 +l2 = n2.
Здесь у по количественной величине равно уо, но ортогонально ему и х, а потому не складывается с у. Но, будучи ортогональной, плоскости ху, уо приобретает качество третьей координаты - z, и потому, приравняв z = уо, получаем плоскостной аналог теоремы Пифагора для «трехмерного» пространства:
x2 + y2 + z2 = n2. (3.9)
Перед нами достаточно странное уравнение (3.9). Числа одного математического ряда своей взаимосвязью демонстрируют изменяемую по длине пространственную (объемную?) структуру (струну?), у которой поперечное сечение тоже изменяемая, но равная по высоте и ширине, скрытая за индексацией величина.
В отличие от общепринятой системы координат, индексация которой может содержать произвольный набор чисел, уравнение (3.9) составляется только из четырех иррациональных взаимосвязанных последовательных чисел русского ряда и по своему характеру является квантованной системой, т.е. качественно новым математическим об
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 924;