Гармония золотых пропорций 3 страница

Перемещение полюса М из бесконечности в зону окружности не отражается на его новом качестве, оставляя ему значимость несобственной плотностной точки. Следовательно, и геометрия пространства, заключенного в промежутке ТМТ` должна некоторым образом отличаться от пространства евклидовой геометрии, поскольку вблизи окружности и в ней появились точки разного несовместимого качества. В целом крестообразная фигура, может быть названа проективным крестом, и имеет способность кадрировано изменяться (деформировать), так как точки опоры S и S₁ могут перемещаться в любую область пространства над базисной прямой, вызывая деформацию всей фигуры, заключенной в структуру пирамиды (кроме основания). Поскольку двойки параллельных прямых, касательных к окружности, пересекаются под углом 90^о и проходят за ее пределы на бесконечность вверх и вниз, вправо и влево, то согласно Дезаргу, во всех четырех направлениях они на бесконечности пересекаются в несобственных точках М, М₁, S, S₁ и др., лежащих на базисной прямой и поляре, а образуемая ими в скрытой форме первичная фигура есть проективный крест (рис. 55.).

Таким образом, фигура проективного креста представляет собой геометрическое единое. Все элементы ее взаимосвязаны и взаимообусловлены. Причем точки опоры серии S хотя и принадлежат фигуре и входят в целое, являются достаточно «самостоятельными» объектами и как бы «отделены» от окружности своей нейтральной зоной, проходящей внутри пирамид. То, что точка S способна «перемещаться» в любую область пространства, а не только по поляре, свидетельствует о том, что в любой области пространства существуют аналогичные плотностные точки, являющиеся невидимыми элементами пространства. И каждый элемент фигуры: точки, отрезки, пирамиды и т.д., являясь отдельным, обладает возможностью «самостоятельного движения», которое все равно будет происходить по законам движения единого. В современной проективной геометрии фигура как единое не рассматривается.

Фигуру, несколько напоминающую проективный крест – окружность, с тремя вертикальными касательными, только повернутую на 90^о, мы уже встречали при рассмотрении процесса деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Это три параллельные на рис. 50, пересекающие бесконечную прямую АВ в точках А, В и N, только там прямая ТТ` проходила не через центр окружности. Эти параллельные перенесены на рис. 55 и отмечено, что точка N в этом случае оказывается проекцией прямой ТТ´ на диаметр, а сама прямая – полярой, которая может перемещаться по диаметру от точки В к центру окружности вызывая перемещение полюса М, образуемого касательными, от точки В вправо от окружности. То же самое происходит при перемещении поляры от точки А с левой стороны фигуры вправо, где аналогом точки М становится точка М₁. Перемещение поляры в промежутке между точками А и В вызывает асимметрию пирамид и сопровождается пропорциональным перемещением касательных к окружности ТТ´, а вместе с ними и образуемых ими полюсов. При перемещении к окружности полюса серии М остаются несобственными точками еще и потому, что они перемещаются по несобственной базисной прямой.

Еще раз остановимся на элементах, образующих проективный крест на плоскости. Основу его составляет окружность, пересекаемая бесконечной базисной прямой на которой отрезок АВ является диаметром. Базисная прямая (базис) – геометрический абсолют всей плоскости, на которой располагаются (можно сказать «закрепляются») связанные с ней фигуры. К тому же сама она может являться плотностной линией на горизонтальной плоскости. Она и опорная точка – элементы, могущие поочередно становиться то статическими, то динамическими в статико-динамическом плотностном пространстве. Однако всегда в этом пространстве находится фигура, играющая роль базиса. Без базиса в виде опорной точки, прямой или плоскости плотностное пространство проективной геометрии отсутствует. Базисная прямая, как будет показано далее, содержит бесконечное количество несобственных гармонических точек серии М (а не четыре, как принято в современной проективной геометрии). Гармонические точки – проекции отдельных элементов фигуры заключенной в пирамиду АSВ на базисную прямую. Проекции, которые сами могут представлять собой динамические параллельные, проектирующиеся в точку на базисной прямой. Положение каждой из точек обусловлено продолжением луча от определенного элемента или элементов фигуры до пересечения с базисной прямой. Все эти точки включены в пространство, образуемое точкой опоры и базисной прямой. Перемещение фигуры на плотностной плоскости, как и в аналогичном физическом пространстве, деформирует ее, но не меняет места нахождения гармонических точек, отображающих эти элементы на базисе.

Пространство внутри окружности, похоже,является базисом фигур. Базис фигуры включает точки А, В, N и образует (охватывает) фигуру вместе с опорной точкой S, лучи от которой проходят как через элементы фигуры, так и через гармонические точки. Точка опоры S со сходящимися в нее лучами (пучки лучей) является динамической частью фигуры. Она может перемещаться в любую область пространства, в то время как ее основание и поляра не покидает своего места на базисной прямой. Гармонические точки и полюса могут передвигаться, следуя за лучами, исходящими от элементов пирамиды к базисной прямой.

Характер деформации всей фигуры определяется той областью пространства, в которую перемещается точка опоры S. Она – отображение возможности бесконечной деформации фигуры. Точка опоры может приобретать статус статического параметра (неподвижного базиса) в том случае, когда базисная прямая переносится в другую область пространства, как перед точкой опоры, так и на продолжениях лучей за ней, т.е. базис приобретает возможность передвижения, теряя статус неподвижного. В этом случае именно точка опоры приобретает этот статус и «сохраняет» структуру фигуры включенной в базис. Расстояние же между гармоническими точками на базисе, при его перемещении, изменяются без нарушения их гармонии. Базисная линия, как уже упоминалось, может иметь любую конфигурацию, в том числе в виде окружности или эллипса. Точки опоры, и не в единственном числе, могут находиться внутри или снаружи этих эллиптических фигур

Почти все перечисленные выше фигуры и связанные с ними понятия в современной проективной геометрии отсутствуют. И их отсутствие не случайно. Оно следствие следующей операции, проведенной, по-видимому, тем же Дезаргом. Процитируем ее из того же источника [27]:

«Уберем с нашего чертежа (рис. 54) окружность и поляру, оставим только их «следы» – саму прямую, точки А и В, полюс М и точку N, т.е. оставим четверку точек на прямой. Вне этой прямой возьмем точку (S), которую будем считать центром проекции, а лучи, проходящие через центр и гармоническую четверку точек, будем называть гармонической четверкой лучей. Замечательно (!!!–Авт.) что на любой другой прямой, пересекающей эти лучи, четверка новых точек – А, В, М, и N` − (рис.56.) снова будет гармонической».

Это небольшое описание содержит несколько допущений естественных для времени Дезарга и оставшихся в проективной геометрии до настоящего времени.

Первое и важнейшее – без всякого обоснования с чертежа убираются взаимосвязанные элементы, являющиеся основной частью единого, обусловливающие возможность объяснения взаимосвязи гармонической четверки точек. Эта операция и закрепила статический характер проективной геометрии и все ее дальнейшее однонаправленное развитие.

Второе заключается в том, что опорная точка S , как и точка М, считаются простыми точками, независимыми от базиса. Не отмечено также, что S и М – несобственные точки.

Третье – базис рисунка прямая АМ, перемещаемый в другую область пространства, как и новое его положение А`М`, постулируются случайными линиями, не обладающими свойствами базисной прямой.

Четвертое – не объяснено, почему на «любой прямой», пересекающей лучи, сохраняется гармоничность четырех новых точек. Более того, по описанию фигур это сохранение оказывается случайным «замечательным» свойством и потому, по-видимому, не требующим объяснения.

И, наконец, последнее – не замечено, что представленная на рис. 54 фигура не полна. У нее отсутствует несколько элементов, обнаруженных в структуре золотого сечения и отображенных на рис. 55, а точки М, как след касательной, и S, как опорная точка, остаются плотностными точками и, потому, не могут появляться случайно.

Само перемещение базиса из одной области в другую, сопровождаемое изменением (деформацией) расстояния между четырьмя точками, отображает только два момента (кадра) их размещения. Причем начальный кадр движения базиса проходит бесчисленное количество «рывков» и «остановов», не отмечаемых на рисунке, прежде чем зафиксируется на новом месте и в новых пропорциях. Поскольку отношение отношений между точками не всегда равнялось единице, то оно получило название сложного отношения четырех точек.

Но сейчас вернемся к фигуре на рис. 54 и попробуем восстановить все ее элементы, включая не проявленные – т.е. те, которые получены при рассмотрении золотого сечения. Попробуем качественно, не прибегая, к аксиомам, теоремам и алгебраическим доказательствам, показать пропорционирование фигур и их элементов с использованием линейки и циркуля (пропорционирование линейкой и циркулем достаточно для качественного рассмотрения предмета исследования).

Начнем с базисной линии, проходящей на бесконечность через точки образующие отрезок АВ (рис. 57). Разделим отрезок АВ пополам и из точки О, как из центра, опишем радиусом АО окружность. Методом двойного квадрата найдем точку N и восстановим перпендикуляр к базису, – прямую, пересекающую окружность в точках ТТ` и являющуюся полярой для точек лежащих на базисе, а через точки А и В проведем касательные к окружности и прямые, сходящиеся на поляре. Получаем три бесконечные параллельные прямые евклидовой геометрии (штрихованные лини), или две параллельные Дезарга пересекающиеся на поляре – прямой ТТ` в точке S, причем поляра становится основой образовавшейся треугольной проективной пирамидой АSВ. Через верхнюю и нижнюю части окружности проведем касательные параллельные базисной прямой и получим три, аналогичные вертикальным, горизонтальные параллельные Евклида (штрихованные линии). Построение закончено. И вместе с пирамидой Дезарга получен двусмежный квадрат АСДВ фигура, представляющая собой прямоугольную трапецию, опирающуюся на параллельные Евклида и разностороннюю трапецию АС`Д`В, опирающуюся на параллельные Дезарга. Симметричные элементы фигуры могут быть получены, как показано на рис 55, и в точках М₁ и S₁ на противоположных сторонах проективного креста, но их рассматривать не будем.

Отметим, что только два элемента фигуры, изображенной на рис. 57 могут перемещаться при фиксированном положении диаметра на базисной прямой: это точка опоры S и поляра ТТ´ причем само перемещение поляры свидетельствует об изменении плотности пространства между параллельными. Точка опоры S, как уже говорилось, может перемещаться в любое место пространства над базисной прямой вне окружности и внутри нее. Потенциальная возможность нахождения S в любой области пространства и обусловливает образование статико-динамического плотностного пространства. Ее перемещение по высоте или в стороны вызывают изменение величины угла S пирамидального треугольника АSВ и пропорциональную деформацию всех элементов, которые могут находиться внутри пирамиды. Перемещение в стороны вызывает наклон пирамиды и параллельных Евклида, проходящих через точки А и В. Точки же серии М лежащие на базисе и являющиеся проекциями определенных элементов пирамидальной фигуры АSВ перемещаться не могут. Они статичны пока пропорция АN∕NВ неизменна. Расстояние между ними пропорционально изменяется только тогда, когда перемещается сама базисная прямая (как, например, на рис. 56).

Поляра ТТ` (рис. 55), обуславливая структуру всей получившейся фигуры, может перемещаться двигаясь внутри окружности параллельно самой себе либо к точке А, либо к точке В, превращая при этом фигуру пирамиды из симметричной относительно поляры проходящей через центр, в асимметричную. Причем это движение будет сопровождаться не только перемещением точек полюсов серии М вдоль базиса и их исчезновением, но и проявлением новых гармонических точек-полюсов, как проекций других элементов фигуры на базис: М<sub>1</sub>, М<sub>2</sub>, М<sub>3</sub>, … и т.д. (Как следует из рис. 54 несобственные точки серии М появляются и при пересечения касательных к точкам Т или Т` с базисной прямой.) Точки серии М на базисной прямой есть плотностные геометрические образования в плоскости базиса, в которые входят лучи-прямые от отдельных элементов фигуры. Они имеют различную плотностность на различном расстоянии от точек опоры или от элементов фигур, от которых исходят лучи. Перемещение точки опоры S в пространстве над базисом вызывает либо изменение пирамиды по высоте, либо ее наклонение, но не изменяет ни пропорций точек на базисе, ни вурфных отношений элементов наклоняемой фигуры. Местонахождения ни одной точки М на базисе мы, по пирамиде без структурных элементов, определить не можем. Поэтому, перейдем сначала к рассмотрению способов нахождения четвертой гармонической точки – полюса без опоры на касательную к точке пересечения окружности полярой.

Вернемся к рис. 54 и отметим, что еще Дезарг определил способ нахождения четвертой гармонической точки по трем данным без использования касательной. Приведем из работы [27] описание этого способа: «Дезарг провел следующее построение (рис. 58), в котором точки и прямые занумерованы в порядке их появления: точки 1, 2, 3 на прямой р даны сразу, через точку 1 проводятся две произвольные прямые 4 и 5, затем через точку 2 – произвольная прямая 6, затем находятся точки 7 и 8 ее пересечения с прямыми 4 и 5, через каждую из этих точек и точку 3 проводятся прямые 9 и 10, получается точки 11 и 12, через них проводится прямая 13, которая и пересекает исходную прямую р в точке 14. Дезарг доказал, что эта точка является искомой четвертой гармонической к точкам 1, 2, 3».

Отметим, что в построении фигуры (рис. 58) не использовались ни окружность, ни касательная и даже не упоминается поляра 6, хотя понятно, что она всегда находится между А и В. И тем не менее четвертая гармоническая точка найдена. Рассмотрим фигуру, полученную Дезаргом «произвольным» проведением двух прямых и вовсе не случайно копирующую выстроенную выше (рис. 57) вертикальную проективную пирамиду. Чтобы убедиться в этом, поменяем нумерацию Дезарга на использованную выше индексацию (рис. 57). Итак, на фигуре рис. 58 изображена наклонная проективная пирамида 183 (АSВ) с точкой опоры S, образованная параллельными Дезарга, и опирающаяся на отрезок 1, 3 (АВ) базисной прямой. Прямая, соединяющая точки 8 (S) и 2 (N) – наклоненная поляра (SN –рис. 57), проходящая правее центра окружности. Линия p, на которой расположены четыре гармонические точки – базисная прямая.

Все основные элементы совпадают. Но у Дезарга имеются еще три прямые, которые отсутствуют на рис. 57. Это 5, 9, и 13. именно пересечение последней базисной прямой и определяют местоположение четвертой гармонической точки Д (М). В структуре наклонной пирамиды эти прямые образуют разностороннюю трапецию А11,12,В, у которой прямые 5 и 9 пересекаясь на поляре 2, оказываются диагоналями данной трапеции. Появление в структуре пирамиды, не отмеченной трапеции, свидетельствует об отсутствии в проективной геометрии этой фигуры, отметим – принципиально важного элемента для понимания динамической сути всей проективной геометрии. Если же пирамиду «выпрямить», а это равнозначно перемещению поляры в центр окружности (рис. 55.), то верхнее основание трапеции «повернется» и станет параллельно нижнему основанию. Если же поляру отодвинуть от центра, то верхнее основание наклонится (рис.58) А сама трапеция окажется полным аналогом трапеции АС`Д`В (рис. 57). Если же теперь в трапеции АС´Д´В провести диагонали, то они пересекутся на поляре и данная трапеция окажется аналогом трапеции А11,12,В.

Таким образом «случайно» проведенная прямая 5 становится не случайным элементом трапеции – одной из ее диагоналей, а прямая 9, соединяющая точку В и точку 11 – другой диагональю. Следовательно, точки поляры являются местом пересечения прямых – диагоналей, исходящих из А и В. Прямая же, соединяющая их пересечение с вертикальными параллельными Дезарга, верхнее основание трапеции, становится как бы «крышей», «надвинутой» на диагонали, и завершающей построение одной трапеции. Но через поляру может проходить множество диагоналей, и потому в пирамиде потенциально «запрятано» неограниченное число трапеций. Рассмотрим, что же дает построение нескольких пропорционированных трапеций в симметричной пирамиде (рис. 59).

Проведем базисную прямую и из точки О, как из центра радиусом R = 5 см и опишем полуокружность АВ. Из центра полуокружности и из точек А и В восстановим перпендикуляры. Получим тройку параллельных прямых Евклида. Примем, что средняя прямая – поляра, а точка О есть одновременно точка N, и на любой высоте от базиса, например, на высоте 28 см, поставим на поляре несобственную точку S,

в которой пересекаются две параллельные Дезарга. Через точку пересечения поляры и окружности проведем касательную до пересечения со сторонами АS и SВ в точках С_о и Д_о, получим крышу – верхнее основание трапеций АС_оД_оВ. Соединив эти точки с точками А и В убедимся, что диагонали АД_о и ВС_о пересекаются на поляре. Через точку пересечения поляры с прямой С_оД_о проведем еще две диагонали АД, ВС, и, соединив их прямой СД, имеем трапецию АСДВ и т.д. Процесс построения трапеций в пирамиде бесконечен как к точке S, так и к базисной прямой, поскольку точка опоры S, как и базисная прямая недостижимы. Между ними и ближайшими к ним крышами всегда остается опорный или базисный промежуток возрастающей плотности. Мы ограничимся построением крыши С₄Д₄, и для выявления пропорциональности высот между крышами, спустимся аналогичным образом еще на крышу ближе к базисной прямой проведя прямую С_кД_к.

Отметим главное отличие в пространстве проективной геометрии от плотностного пространства статико-динамической, ярко проявляющееся в этом построении. Чем ближе к точке S находятся крыши пирамид, тем меньше расстояние между ними. То же самое происходит и с крышами, «приближающимися» к базисной прямой. Чем ближе они к ней, тем меньше расстояние между ними. И данное построение можно продолжать бесконечно. Именно это обстоятельство свидетельствует об изменении плотности пространства между точкой опоры S и базисной прямой таким образом, что где-то между ними должна существовать нейтральная зона одинаковой плотности пространства. Убедимся в этом, замерив, расстояние между крышами. Оно оказывается снизу вверх равным в см: 2,3; 3,5; 4,5; 4,8; 3,9; 2,8 … и т.д. Максимальное расстояние наличествует между третьей и четвертой крышами. Оно и свидетельствует о том, что в данной области пространство имеет наименьшую плотность. Неравенство расстояний между крышами, например, в статической геометрии предполагает диспропорциональность этих расстояний. Однако проверка пропорциональности вурфным методом W(а, b, с) по уравнению:

W(а,b,с) = (а + b)(b + с) ⁄b(а + b + с) (4.2)

W₁ = (2,3 + 3,5)(3,5 + 4,5) ⁄3,5(2,3 + 3,5 + 4,5) = 1,287

W₂ = (3,5 + 4,5)(4,5 + 4,8) ⁄4,5(3,5 + 4,5 + 4,8) = 1,292;

W₃ = 1,277; W₄ = 1,299,

с точностью до третьего знака доказывает ее наличие. Это свидетельствует о том, что имеет место не геометрическое неравенство, а физическое равенство расстояний между крышами. (Базисный ряд русской матрицы). Это обстоятельство и определяет форму пропорционирования фигур статико-динамической геометрии. Для пропорционирования используется не двучастное деление пропорционируемых отрезков, а трехчастное. Пропорционируется не численная величина двух расстояний, а величина трех соседних отрезков.

Убедившись в наличии пропорциональности высот трапеций с параллельными крышами, построим трапеции с наклонными крышами соединив прямыми, например, точку С₄ с точкой Д₃, точку С₃ с точкой Д₂ и т.д., и продолжим лучи от наклоненных крыш до пересечения с базисной прямой (рис. 59). Лучи всех крыш оказываются в одной точке М, которая для симметричных пирамид всегда отстоит от точки В ровно на длину диаметра, и таким образом пропорция (4.1) оказывается сохраненной.

Увеличим наклон крыш соединив точку С₄ с точкой Д₂, точку С₃ с точкой Д₁ и т.д. и продолжим их лучи до пересечения с базисной прямой (лучи к базису на рис. 59.). На ней появляется новая гармоническая точка М₁, отсекающая ровно 1⁄3 длины ВМ. Все больше и больше увеличивая наклон крыш, получаем фиксированные гармонические точки серии М₂, М₃, М₄ и т.д. Естественно, что теперь пропорция (4.1) между отрезками диаметра и точкой М₁ не будет соблюдаться:

АN ⁄ NВ ≠ АМ₁ ⁄ М₁В,

поскольку изменилось расстояние до М₁ и для появления новой пропорции должно измениться местонахождение точки N.

Для получения месторасположения точек серии N необходимо одновременно с увеличением, например, наклона крыш с С₄ на Д₂ проводить лучи из точки С₄ через середину крыши С₂Д₂, до пересечения с базисной прямой, что обусловливает получение гармонической точки N₁, Точка N₁ отсекает ровно 1⁄3 диаметра и уравнение (4.1) сохраняет свой вид в следующей форме:

АN₁ ⁄ N₁В = АМ₁ ⁄ М₁В (4.3)

Для сохранения пропорций каждой гармонической точки серии М: М₂, М₃, М₄ и т.д. аналогичным образом из точки С₄ через середину крыши С₁Д₁, СД, С_оД_о и т.д. проводятся прямые до пересечения с базисной прямой в точках N₂, N₃, N₄ и т.д. Эту серию гармонических точек можно назвать спутницами поляры N.

Естественно, что между каждой из крыш можно построить множество других взаимосвязанных наклонных крыш, получая такое же множество новых фиксированных гармонических точек на базисной прямой. При построении точек, аналогов точкам серии М, слева от пирамиды, симметрично вырисовывается та же картина их расположения на базисе.

Определив расположение множества гармонических точек, рассмотрим, какие изменения произойдут при перемещении точки опоры S пирамиды по высоте, например, в точку S_о на поляре с уменьшением по высоте, или в точку опоры S₁ с отклонением по вертикали вправо. Поскольку все параметры серий точек М и N от пирамиды с точкой S_о на поляре, уменьшенной по высоте, аналогичны параметрам высокой пирамиды, остановимся на последнем варианте и построим (штрихованную) наклонную пирамиду с точкой опоры S₁. Проведем, через точку пересечения полярой окружности, диагонали первой трапеции и, аналогично предыдущему, построим семь этажей крыш. Хотя пирамида деформировалась и наклонилась, крыши, тоже деформировавшись, как и все элементы пирамиды, сохранили горизонтальное положение. Это свидетельствует о том, что в горизонтальном направлении плотность пространства между точкой опоры и базисной прямой не изменяется по горизонтали.

Построим наклоненные крыши, соединив прямыми С₄´Д₃´, С₃´Д₂´, С₂´Д₁´ и т.д., и продолжим лучи от них до пересечения с базисной прямой. Лучи всех крыш сойдутся в точке М. Соединим углы крыш через этаж С₄´Д₂´, С₃´Д₁´, и т.д. и снова продолжение лучей крыш сойдется на базисе в точке М₁. Ситуация повторится и для точек М₂, М₃ и т.д., и для точек N₁, N₂, N₃ и т.д. находящихся внутри пирамиды, и для точек, расположенных симметрично слева от пирамиды и от поляры. И можно полагать, что статичность бесконечных рядов гармонических точек находящихся на базисе, сохраняется при любом перемещении точки S над базисной прямой. Проверим, изменилась ли пропорциональность в расстояниях между крышами. Замерим эти расстояния. Они снизу вверх оказываются равными в см: 1,7; 2,6; 3,3; 2,6; 1,7. Т.е. высоты всех крыш наклоненной пирамиды, опирающейся на тот же базис, отличаются от высот пирамиды вертикальной. И плотность пространства по высоте пирамиды так же не остается неизменной. Она становится большей, поэтому расстояние между крышами уменьшается. Но и в этом случае уменьшение расстояний строго пропорционально и явно определена нейтральная зона одинаковой плотности в промежутке между третьей и четвертой крышей. Проверим по вурфному уравнению (4.2) сохранилась ли пропорциональность высоте между крышами?

W₁ = 1,284; W₂ = 1,283; W₃ = 1,283; W₄ = 1,284.

Т.е. вурфный коэффициент в пределах трех знаков не изменился, и пропорциональность расстояния между крышами сохранилась. Это очень важное обстоятельство, отображающее, например, природный процесс развития живых организмов. Известно, что части живых тел при росте изменяются на разную величину и, кажется, что это изменение происходит диспропорционально. Однако во всех случаях роста у всех растений и организмов, даже на клеточном уровне, сохраняется вурфная пропорциональность в изменении их жизненных органов, аналогичная пропорциональности элементов проективных пирамид.

Покажем, что те же ряды гармонических точек серий М и N можно построить, используя параллельные не Дезарга, а Евклида (рис. 60). У параллельных Евклида отсутствует точка опоры, и плотность пространства от базисной прямой постоянно уменьшается. Поэтому отсутствует по высоте нейтральная зона, а расстояние между крышами все время возрастает в геометрической прогрессии и приходится отыскивать ограниченное количество точек.

Проведем базисную прямую и отложим на ней отрезок АВ разделенный пополам точкой N. Из точек А, N, В восстановим перпендикуляры – параллельные. Параллельная прямая N становится полярой. Отложим на параллельных расстояние равное 0,5АN, и соединим точки С и Д прямой. Образовавшийся прямоугольник АСДВ является прямоугольной трапецией, а прямая СД – его крыша. Через точку пересечение крыши СД с полярой проводим прямые – диагонали АД₁ и ВС₁, и соединив точки С₁и Д₁ получаем другую трапецию – квадрат АС₁Д₁В (двусмежный квадрат). Проведем диагонали в трапеции АС₁Д₁В и через их пересечение проведем прямую С₂Д₂, параллельную базисной прямой. Получим еще одну трапецию АС₂Д₂В. Построение, как и в предыдущем случае, можно продолжать бесконечно как от базисной прямой, так и к ней.

Перейдем к нахождению гармонических точек. Проведем прямые через точки С₃Д₂ и С₂Д₁ до пересечения с базисной прямой. Они пересекут ее в точке М отстоящей от В ровно на длину АВ. Соединим точки С₂ и Д, точки С₁ и Д_о прямыми, продолженными до пересечения с базисной прямой. Они пересекут ее в точке М₂. Таким образом можно найти и гармонические точки М₃, М₄ и т.д. Внутренние гармонические точки N₁, N₂, N₃ит.д. также находятся на лучах, проложенных через точки пересечения прямых от крыш с полярой, до базисной прямой. \