Гармония золотых пропорций 6 страница

Фигура, изображенная на рис. 71, чуть ли не единственная в проективной геометрии явно отображающая все входящие в ее структуру элементы. А изложенное объяснение ее построения демонстрирует односторонность современного статического подхода к рассмотрению образовавшейся фигуры. Математик, построивший в коническом сечении шестиугольник, полагает, что за пределами шестиугольника ничего нет. И это совершенно правильно, если фигура принадлежит статической геометрии. Но если она относится к проективной геометрии, то сама фигура «знает», что она всего только базисный, опорный элемент единой невидимой фигуры. Вторым элементом является базисная прямая, проходящая за ее пределами и потому попарные лучи, продолженные за пределы сторон шестиугольника обязательно пересекутся на базисной прямой.

Тольков проективном представлении субъекта вписанный в коническое сечение шестиугольник (далее, для упрощения, будем говорить об окружности), является самостоятельной фигурой. В статико-динамической геометрии это несколько неявных фигур-треугольников. Они, частично перекрывая друг друга, наложены на опорную окружность, отсекая своими сторонами шесть хорд, образующих шестиугольник, и составляя вместе с базисной прямой, единую фигуру.

Проведем построение вписанного шестиугольника иначе, чем было описано выше. Возьмем опорную окружность и на некотором расстоянии от нее базисную прямую, на которой находятся точки А, В, С. На окружности расположена точка D, место схождения двух сторон шестиугольника (рис. 72.).

Соединим точки А и С прямыми с точкой D. Точки пересечения Е и F прямых с окружность соединим прямыми с точкой В. Получим новые точки I и L. Из точки С через точку I проведем прямую до пересечения с прямой АD в точке G. А из точки А прямую через L до пересечения с прямой СD в точке Н. Точка пересечения этих прямых К окажется на окружности и замыкает шестигранник. Шестигранник DЕIКLF построен. Он составлен тремя треугольниками АDН, ВFЕ, СDG. Стороны этих треугольников, проходящие внутри окружности, и образуют искомый шестигранник. Он весь включен в треугольник АСD и одновременно, отсекаемыми хордами, вписан в опорную окружность.

Перемещение любого из элементов этой фигуры сопровождается деформацией всех ее элементов кроме базисных. Они же, оставаясь базисными, не испытывают деформации. Базисные фигур испытывают деформацию только тогда, когда перемещаются в другую область пространства. Именно в этом случае окружность, например, отображает коническое сечение.

Покажем деформацию треугольников АНD ВFЕ, и СDG обусловленную перемещением точки В вдоль базисной прямой, допустим влево (показано штрихами). Перемещение В оставило неизменным треугольник АСD и основание треугольника ВFЕ но переместила одну из их сторон (показано штрихами), изменив площадь каждого внутреннего треугольника и точки их пересечения таким образом, что четыре стороны вписанного шестиугольника переместившись по окружности, изменили свою длину, а следовательно, и конфигурация шестиугольника подверглась изменению. Перемещение же точек А и С вдоль базисной прямой, «удаление» или «приближение» к ней опорной окружности, вызывает деформацию всех элементов фигуры, но не сдвинет «произвольные» точки с паскалевой прямой, поскольку эта прямая – базисная.

Таким образом, деформация фигуры в пространстве статико-динамической геометрии, происходящая в результате перемещения отдельных ее элементов или опорных узлов не нарушает структурного единства самой фигуры. Пединим прямыми с точкой В.кружность льника., В, С. описано выше.

Глава V

Элементы физической геометрии

5.1. Физика

в геометрических символах

В физике постоянно дискутируется в физике вопросы о физической сущности свойств: Являются ли геометрические свойства свойствами физическими или эти свойства не имеют отношения к физике? Является ли геометрия самостоятельной наукой со своими свойствами и законами или она есть раздел физики? Ответы на эти вопросы определяются тем представлением о геометриях, которое складывается в науке на протяжении длительного времени, и о связях свойств статических геометрий с физическими свойствами природы. Поскольку до настоящего времени наука оперирует только статическими геометриями, то однозначного ответа на эти вопросы получать не удается. Статические геометрии базируются на аксиомах и теоремах, отсутствующих в природе и получаемых путем абстрагирования от природных свойств. Это обстоятельство обусловливает видимость как бы самостоятельности геометрических свойств, их независимости от природы. Подчеркнем – самостоятельность геометрических свойств. Но является ли статическая геометрия единственным предметом, описывающим геометрические свойства природы? Ниже мы покажем, что классическая геометрия не единственный способ описания геометрии природы. Эти свойства можно описывать и полудинамическим (статико-динамическим) и динамическим методом, что обусловливает возможность лучшего понимания природных процессов. Но продолжим.

Абстрагирование начинается с выделения из природы отдельных свойств, с аксиоматизацией связей между ними и с введением эталонных измерителей количественных параметров этих свойств. При этом практически не учитывается то обстоятельство, что физические свойства невозможно отделить от тел. Они, эти свойства, как уже говорилось, неотъемлемые составляющие комплекса свойств, образующих тела, их атрибуты. Они – в природе никогда не бывают самостью, каждое из них существует в совокупности и только в совокупности всех свойств рассматриваемого объекта. Без любого из свойств материальный объект не существует.

Но для субъекта – ученого – они суть отдельности – мыслимые субстанции, на которых базируется все его представление о природных свойствах, и «выделяются» они из этой совокупности мыслящим субъектом для его практических целей как самостоятельные качества. В природе отсутствуют такие отдельные физические и геометрические свойства, как «расстояние», «плоскость», «пространство», «время» «бесконечность» и т.д. К тому же свойства: расстояние, плоскость, пространство, бесконечность находят применение и в физике и в геометрии свидетельствуя, таким образом, о некоей неразрывности понятий физики и геометрии. Тем не менее, представления об этих свойствах в физике и в статической геометрии могут оказаться различным. И то, что оно сейчас необъяснимо совпадает, свидетельствует о недостаточном представлении сущности физических и геометрических свойств.

В основе всех представлений геометрических свойств, как уже неоднократно подчеркивалось, заложено понятие о пространстве. И в первую очередь о вещественности этого пространства. Многократно повторимся. Невещественность пространства – есть пустота, в коей ничего нет, и по определению быть не может. Пустота – категория непостижимая для ума, т.к. в любом построении ум субъекта обязан быть «наблюдателем». А как «оказаться» в месте, в котором ничего нет? И что можно сказать о нем? Только одни отрицания: неподвижный, невещественный (бестелесный), не пространственный и т.д. и т.п. А нет пространства, нет и эталона для его измерения.

Однако, по укоренившейся традиции, такой неподвижной, невещественной, примысливаемой пустоте приписывают свойство самость – пространство и существование некоего расстояния между примысливаемыми в нем телами, которое замеряют размерными эталонами, в частности – метром. Но метр – вещественный эталон. И в его современной формулировке заложены два основных признака вещественности – материальность и движение. Ответ на вопрос: − Как можно замерять невещественное (примысливаемая пустота) вещественным? − естественно отсутствует. И бессмысленная традиция сохраняется. Однако во всех мировых философиях имеется тезис «подобное взаимодействует с подобным» и только в физике этот тезис нарушается, поскольку получается, что пустота, не имеющая свойств тел, и, следовательно, не подобное телам, вмещает совокупности свойств – тела, а отсутствующая в пустоте протяженность замеряется протяженным телом. Попробуем еще раз определиться с пространством и расстоянием в физике и геометрии.

Естественно, что необходимость выживания и ориентации человека в жизненном пространстве породила понимание реального (вещественного) пространства и расстояния как протяженности, как промежутка между телами, задолго до того, как у него появились даже самые первичные представления об измерениях и числах. И это представление определялось не выделением свойства из общей совокупности, а сопоставлением свойства отдельного предмета с таким же свойством другого подобного предмета, принимаемого за эталон. И потому измерение промежутков можно было проводить только посредством применения имеющихся тел, используя их в качестве эталонов. Первоначальные эталонные измерительные инструменты, как предполагается, не базировались на параметрах Земли, и, более того, ничем не были связаны с физическими параметрами, а для определения протяженности использовались некие практические факторы. Например, расстояние у греков определялось по дальности падения брошенного копья, у кочевников по дальности полета стрелы и т.д. Т.е. развитие представлений о пространстве и расстоянии происходило от частного к общему. И логика этого развития привела к формальному, опосредованному пропорционированию размеров эталонного измерительного инструмента, названного метром, параметрам Земли. Произошло чисто механическое пропорционирование инструмента по измерению расстояния – метра, параметрам планеты, а потому физическая сущность понятия «расстояние» оказалась не выявленной. Попробуем прояснить, что же лежит в основе физического понятия – «расстояния» как категории, на которой основывается вся геометрия.

Если за отправную точку рассуждения принять предположение о том, что космос отображает пространство, то обращает на себя внимание визуально «наблюдаемая» изотропность космического пространства. Имеется ли в действительности изотропность – пока неизвестно, хотя в соответствии с диалектикой пространство вещественно и, следовательно, анизотропно. Но в космосе наличествуют выделяющиеся на общем, как бы безматериальном фоне отдельные вещественные тела – планеты, звезды, галактики и т.д. Т.е. тела, имеющие большую, против остального пространства, массу и плотность.

Эти выделенные тела влияют, через пространство (добавим, вещественное, иначе как может это влияние передаваться), друг на друга гравитационными полями. Энергия последних убывает по мере отдаления от самих небесных тел. Убывание энергии гравитационных полей с расстоянием однозначно свидетельствует об анизотропии космического пространства и о том, что плотность энергии вблизи тел больше, а в отдалении меньше. И еще о том, что где-то между взаимодействующими телами существует зона одинаковой гравитационной энергетической плотности (нейтральная зона). Все объекты, находящиеся между двумя гравитирующими телами, под воздействием их полей изменяют свою форму – деформируют [2]. Уменьшаются или увеличиваются в размерах в зависимости от того, находятся ли они ближе к гравитирующему телу или дальше от него. Причем в движении от одного плотного тела к другому до нейтральной зоны они увеличиваются в размерах, а после прохождения ее – уменьшаются пропорционально энергии того тела, к которому они приближаются. Этой деформации подвержены все тела без исключения, в том числе «твердые» эталоны.

Свойство деформации плотностного тела в физическом пространстве и отображает статико–динамическая геометрия. В ней фигуры, как и свойства тел природы, есть – взаимосвязанная совокупность всех элементов, составляющих фигуру, т.е. отдельное. В дискретном (дуальном) мире телам присуща внутренняя целостность, но отношение с другими телами переводит целостность в отдельность. Ни один элемент отдельной фигуры из нее изъять невозможно, так же как невозможно изъять из тела ни одного его свойства. Удаленный из фигуры элемент, тем не менее, в скрытом состоянии, остается в ней так же, как рассмотрение отдельных свойств тела не свидетельствует о том, что тело исчезло. Это обстоятельство и обусловливает наличие в статической (?) и статико-динамической геометриях скрытых фигур. По аналогии можно отметить, что свойства, не учитываемые в физических расчетах, остаются скрытыми в комплексе совокупности свойств тела.

Анизотропная плотностность геометрического пространства обусловлена тем, что все точки пространства статико-динамической геометрии имеют статус несобственных, т.е. плотностных точек Дезарга. Причем плотностность всех несобственных точек различна. Наибольшую плотностность имеют точки, образующие базисные фигуры. Плотностные базисные фигуры – опорная точка и базисная плоскость, своеобразно отображают в геометрии свойства тел, создающих гравитационные поля. Они «создают» некоторое анизотропное, изменяемое с расстоянием плотностное пространство статико-динамической геометрии. Под воздействием этих невидимых «геометрических полей» находящиеся в них фигуры деформируются. Все элементы фигуры, передвигающейся между плотностной точкой опоры и такой же базисной линией (базисной плоскостью) деформируются пропорционально плотности того геометрического пространства, в которое они попадают, возрастая по длине при удалении от плотностных точек и уменьшаясь с приближением к ним.

Естественно, что в статико-динамической геометрии отсутствуют реальные плотности, энергии, расстояния и силовые деформации. Имеется своего рода проективное отображение плотностного пространства, протяженности и взаимодействия фигуры с пространством. Именно оно вызывает пропорциональное изменение размеров элементов фигуры при движении на плоскости геометрического листа как некоторое подобие реальных физических процессов. Эти фиктивные для геометрии плотностные свойства, тем не менее, моделируют природные процессы в пространстве статико-динамической геометрии. При этом в отображении протяженности используется общая для всех геометрий и физики методика измерения длин и расстояний и единый эталонный измерительный инструмент. Например, метр. Но измерительный эталон вещественная величина. Чтобы им пользоваться в статико-динамической геометрии надо определиться с физическими свойствами протяженности, обусловливающими появление геометрического понятие «расстояние».

Обратимся к телу, например, к Земле и определимся, можно ли из совокупности ее свойств определить те физические свойства, которые образуют геометрическое понятие «расстояние», и какие взаимосвязи они создают. В первом приближении Земля – шар. Параметры шара включают его радиус и поверхность. Радиус и есть «расстояние» от поверхности до центра Земли. Возникает вопрос: Совокупность каких «отдельных» физических свойств планеты определяет длину радиуса?

Радиус Земли R определяется через ее частоту пульсации (угловую скорость?) ω и скорость v вращения гравитационного поля, равную первой орбитальной скорости:

R = v⁄ω, (5.1)

частота пульсации пропорциональна периоду Т:

ω = 1 ⁄ Т, (5.2)

и, подставляя в (5.1) вместо ω из (5.2) 1 ⁄ Т имеем:

R = vТ. (5.3)

Т.е радиус Земли «определяется» не эталонным инструментом длины, а физическими свойствами некоторого колебательного процесса (периодом или частотой) и скоростью его распространения, и, следовательно, измерительный инструмент, используемый для измерения должен обладать подобными свойствами. Отметим; параметры окружности Земли по поверхности L, как и ее площади S тоже включают в себя колебательный процесс и длину волны λ_з планеты:

L = 2πR = 2πvТ = λ_з, (5.4)

S = 4πR² = πv²Т². (5.5)

И это естественно, поскольку все тела, как и эталонные измерительные инструменты, физически пульсируют [2]. Пульсация, как и все остальные свойства, – атрибут каждого тела и отдельно от тела не существует, но может передаваться через вещественное пространство другим телам. Так передаются, например, электромагнитные и гравитационные волны.

Возьмем эталонный метр. Его линейная длина равна одной сорокамиллионной длины парижского меридиана. Но как единица эталона длины он определяется равным 1650763,73 ≈ 1,65∙10⁶ длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р_1с и 5_d5 атома криптона-86. Т.е. в длине метра укладывается именно такое количество волн криптона. И, следовательно, длина одной волны, испускаемой Землей, будет соответствовать 1,65∙10⁶λ_з волн криптона. Пропорциональность длины волны криптона длине некоторого предмета и определяется при измерении этого предмета метром. Т.е. сопоставляются одинаковые свойства предмета и эталона, скрытые от взгляда структурой твердого вещественного метра. И здесь подобное определяется подобным. Вот тот физический процесс, который используется для нахождения протяженности длины, ширины и высоты предмета. При этом визуально для измерения выделяется не сопоставление длин волн, а тот телесный предмет, который это количество волн вмещает. Не волна становится отдельным для измерения, а протяженность по волновому качеству самого измерительного эталона, как обладающего свойством отдельного.

В геометрии волновое движение отсутствует. А протяженность обозначается искусственной фигурой – линией. Линия не является ни свойством и ни веществом. К колебаниям она не имеет никакого отношения. И никакими своими качествами не может быть сопоставлена с вещественным эталоном. Однако процесс измерения линии полностью аналогичен процессу измерения вещественного предмета. И эта аналогия является следствием того, что линия на любом фоне или выраженная предметом всегда является отдельностью. Качество отдельного присуще и эталону измерения и произвольной линии. По этому качеству и только по этому качеству линия и метр подобны друг другу. Это качество и замена взаимосвязей природных свойств аксиомами обусловливают возможность использования в статической геометрии физического свойства протяженности. Другие физические свойства применения в ней не находят. Опора на два природных свойства и определяет представление о самостоятельности геометрических свойств и их независимости от природы. Опора на двуединое свойство и делает статическую геометрию математическим предметом, таким же, как и все остальные математические предметы.

В статико-динамической геометрии кроме длины как выражения природного свойства протяженности, проявляют себя свойства взаимосвязи элементов фигуры и плотностность как отображение полевого взаимодействия тел в пространстве и их деформации под воздействием пространства. Причем в некоторой степени аналогами тел выступают несобственные точки и несобственные плоскости Дезарга. Фигуры – несобственные точки, уменьшение пространственной плотностности от которых происходит по тем же законам, по которым изменяются сила взаимодействия гравитационных и электромагнитных полей. Плотностные свойства, отображающие природные свойства в геометрии, качественно меняют ее характер, превращая из статической в полудинамическую, в которой одновременно присутствуют и подвижные и неподвижные элементы. В геометрию, в которой наличествует движение при отсутствии времени как длительности.

Отсутствие времени как свойства тел и «поддерживает» эту геометрию в неопределенном положении между физикой и математикой. С одной стороны она оказывается статической, и как таковая может быть отнесена к предмету математики. С другой ее фигуры и элементы фигур могут «перемещаться» в пространстве и пропорционально деформироваться при перемещении, − качества, которыми обладают только природные системы. Качеством пропорционального деформирования не обладают, например, фигуры статической геометрии. Пропорционирование фигур и их элементов в классической геометрии явление случайное или искусственное. В статике отсутствуют внутренние связи между элементами фигур и потому практически невозможно достижение гармоничныхпропорций между фигурами и их элементами не только в проекте, но и в практике возведения объектов. Именно поэтому в геометрии и связанных с нею науках, и в частности в физике, не проявляют себя золотое число и золотые пропорции.

В статико-динамической геометрии пропорционирование фигур и их элементов смешанное (простое и гармоническое) и происходит постоянно. Оно – следствие системной структуры фигур всеобщей взаимосвязи их свойств и деформации при перемещении в плотностном пространстве. В процессе перемещения фигур в определенных областях пространства может появляться как отношение элементов фигур золотое число, а вместе с ним проявляются зачатки гармоничного пропорционирования по золотым пропорциям. Золотое пропорционирование в статико-динамической геометрии есть случайное следствие ее динамичности. Тем не менее, оно позволяет получать гармоничные пропорции в том случае, когда в элементы движущейся фигуры положены золотые отношения. Динамичность фигур является той основой, которая обусловливает появление рядов Фибоначчи и золотых чисел в данной геометрии и потенциальную возможность отображения в процессе нарастания рядов Пилецкого золотых матриц. Статика не попадает в мир золотых чисел и пропорций. Она не образует связи между элементами фигур и числами и потому не «чувствует» взаимосвязи золотых чисел. На это способны только динамические системы. Повторимся: Фигуры статико-динамической геометрии обладают качеством природной системы.И это качество как бы свидетельствует о ее частичной принадлежности к физическим наукам.

Немного о динамической геометрии. В этой геометрии впервые появляется время как рядовое физическое свойство. И наряду с ним в геометрию сразу же входят все остальные свойства природы, превращая геометрию из математической науки в науку физическую. Естественно, что все они входят в систему геометрии, а не в обиход геометров, поскольку количество природных свойств бесчисленно. Все свойства динамической геометрии равнозначны и фундаментальны. Ни одно из них не может исчезнуть или быть приравнено нулю, поскольку это равнозначно исчезновению тела. В динамической геометрии изначально наличествует только гармоничное пропорционирование на основе золотых чисел базисного ряда русской матрицы [2]. Все природные свойства, рассматриваемые физическими науками, имеют не только количественную величину, но и качественное числовое отображение. Они взаимосвязаны и взаимообусловлены через качественное числовое отображение, через кратные золотому числу качественные коэффициенты физической размерности (КФР).

Динамическая геометрия качественно отличается от классической математики уже тем, что имеет дело со всеми физическими свойствами тел, а не только с их количественным отображением и является открытой системой, наиболее полно выражающей систему природных взаимосвязей и взаимодействий. В ней отсутствуют аксиомы и теоремы, а система логичного доказательства опирается на инвариантные взаимосвязи свойств. В динамической геометрии фигуры, как таковые, отсутствуют, поскольку они есть крайняя степень упрощения связей. К ним прибегают только для пояснения тех или иных взаимосвязей свойств. Другими словами динамическая геометрия уже не является математической дисциплиной, а оказывается составной частью физики и может быть названа физической геометрией. Геометрией, описывающей динамику реальных природных процессов.

5.2. Структура русских матриц

С русской матрицей мы познакомились при изучении секретов старинных соизмерительных инструментов - древнерусских саженей. Необъяснимой особенностью этих инструментов являлось то, что их было много (десятки), они были несоизмеримы между собой, а при разметке объекта не допускалось разбиение осевых (координатных) размеров одной саженью. Разметка обязательно начиналась с высоты (координата - z) одной саженью, далее ширины (координата - х) - другой саженью и, наконец, длины (координата - у) - третьей саженью. Все оси разбивались только четным числом саженей.

Было непонятно: зачем и как пользоваться десятками саженей, осложняя работу? Почему саженей много, разве нельзя обойтись одним измерительным инструментом? Почему они несоизмеримы между собой? Как могла сложиться такая архаичная система измерения? Почему она оставалась в употреблении в течение многих тысячелетий? И т. д. На эти многочисленные вопросы десятилетиями не находились ответы.

Однако А.А. Пилецкий [25] сумел свести все многообразие не пропорционированных друг другу древнерусских саженей к 15 «типоразмерам», показать, что все они пропорциональны золотому числу Ф и подойти к построению матрицы, отражающей их взаимосвязи, используя для этого применяемый только на Руси метод раздвоения-удвоения для получения из саженей более мелких измерительных инструментов. Согласно древнему методу пропорционирования, как уже упоминалось, сажень делилась пополам, получалось полсажени. Полсажени надвое - локоть и так далее до вершка. Деление заканчивалось на вершке. Именно метод раздвоения удвоения привел к воссозданию объемной русской матрицы (подробнее [23, 26]). Приведем для примера фрагмент матрицы А. Пилецкого (фрагмент 1), включающий в см все древнерусские сажени (выделены полужирным шрифтом[23,25]:

Фрагмент 1

Отметим, что сажени, являясь строительным инструментом, тем не менее, не относятся к мерным линейкам. Они инструмент соизмерительный, инструмент формирования площадей и объемов, пропорциональных естественным природным площадям и объемам. Однако в бесконечной по вертикали и горизонтали матрице, заполненной числовыми рядами взаимосвязанных геометрических прогрессий, фрагмент 1 содержит выделенное числовое поле, отсутствует базисная 1. Чтобы ее получить достаточно выделенный ряд чисел поля, например, диагональ 33,60 – 603,2, идущую снизу вверх слева направо (полужирный курсив), или все числа матрицы, разделить на любое из находящихся на ней чисел. Например, на 230,4 и получить диагональ – элемент русского ряда (фрагмент 2, диагональ выделена полужирным курсивом). Аналогичное можно проделать и с числами диагонали 1408 – 5,250, идущей сверху вниз и слева направо (фрагмент 2, диагональ выделена курсивом), с числами горизонтального ряда и т.д. Вообще, для получения классического числового поля русской матрицы достаточно просто разделить все числа поля фрагмента 1 на одно из входящих в матрицу чисел. Эта операция проделана с тремя первыми столбцами фрагмента 1 поделенными на 230,4, и полученные числа выделены полужирным курсивом на фрагменте 2.

Фрагмент 2.

Приведем запись формообразующих центров числовых полей двух матриц 1' и 2':