Сходимость функционального ряда
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке
, если сходится соответствующий ему числовой ряд
.
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в области
, если он сходится в каждой точке этой области.
Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области
, если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд
.
Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области
, если он сходится в этой области, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Определение. Областью сходимости (абсолютной сходимости) функционального ряда называют множество
тех значений
, при которых ряд
сходится (абсолютно сходится).
Пример. Найти область сходимости ряда .
Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при
, т.е. при всех
- это область сходимости; сумма ряда равна:
.
Пример. Найти область сходимости ряда: .
Решение.Рассмотрим ряд из модулей членов и применим к нему признак Даламбера:
=
.
(Здесь использована эквивалентность бесконечно малых: при
). Таким образом, ряд абсолютно сходится при любом
.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 597;