Функциональные свойства суммы сходящегося ряда

По функциональному ряду построим последовательность частичных сумм:

Определение.Предел последовательности частичных сумм называют суммой функционального ряда: . Если при каждом , функциональный ряд сходится, то .

Определение.Говорят, что сходящийся функциональный ряд равномерно сходится на отрезке к функции , если для найдется не зависящий от x номер такой, что при выполняется неравенство , .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса).Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где - члены сходящегося числового ряда , то ряд сходится на равномерно.

Теорема 2 (Непрерывность суммы функционального ряда).Пусть непрерывны на отрезке , и ряд сходится на равномерно. Тогда сумма этого ряда непрерывна на .

Теорема 3 (Почленный переход к пределу).Если выполнены условия теоремы 2, то для существует предел суммы функционального ряда , и он равен .

Теорема 4 (Почленное интегрирование).Пусть непрерывны, и пусть ряд сходится на равномерно. Тогда сумма ряда интегрируема, причем .

Теорема 5 (Почленное дифференцирование).Пусть непрерывно-дифференцируемы на отрезке , и на этом отрезке ряды и сходятся равномерно. Тогда сумма ряда имеет на непрерывную производную, при этом .

Степенные ряды

Определение.Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где - коэффициенты ряда (комплексные или вещественные), а - комплексная или вещественная переменная.

Заменой ряд преобразуется к виду

Такой ряд сходится, по крайней мере, в одной точке: .

Теорема 6 (Теорема Абеля).Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно при и сходится равномерно при , где - любое число из интервала . Если этот ряд расходится в точке , то он расходится при .